Gọi I là trung điểm của BC
=> NI//BD=> BD// (MIN)
=> d( BD; MN)=d( BD; (MIN))=d( O; (MIN)) ( vì O thuộc BD)
Gọi J là giao điểm của IN và OC
=> J là trug điểm của OC
=> \(\frac{AJ}{OJ}=3\Rightarrow\frac{d\left(A;\left(MIN\right)\right)}{d\left(O;\left(MIN\right)\right)}=3\Rightarrow d\left(O;\left(MIN\right)\right)=\frac{1}{3}d\left(A;\left(MIN\right)\right)\)
Trong (SAC) Gọi H là hình chiếu của A lên MJ
Ta có: SA vuông (ABCD) => SA vuông NI
mà NI vuông AC
=> NI vuông (SAC)=> NI vuông AH
Mặt khác AH vuông MJ
=> AH vuông (MIN)
=> d( A; (MIN))=AH
Xét tam giác SAC vuông tại S
=> \(SA=\sqrt{SC^2-AC^2}=\sqrt{\left(10\sqrt{5}\right)^2-\left(10\sqrt{2}\right)^2}=10\sqrt{3}\)( vì ABCD là hình vuông nên \(AC=AB\sqrt{2}=10\sqrt{2}\))
=>\(AM=\frac{1}{2}SA=5\sqrt{3}\)
\(AJ=\frac{3}{4}AC=\frac{15\sqrt{2}}{2}\)
Xét tam giac AMJ vuông tại A có AH là đường cao
=> \(\frac{1}{AH^2}=\frac{1}{AM^2}+\frac{1}{AJ^2}=\frac{1}{\left(5\sqrt{3}\right)^2}+\frac{1}{\left(\frac{15\sqrt{2}}{2}\right)^2}=\frac{1}{45}\)
=> \(AH^2=45\Rightarrow AH=3\sqrt{5}\)
=> \(d\left(O;\left(MIN\right)\right)=\frac{1}{3}d\left(A;\left(MIN\right)\right)=\frac{1}{3}AH=\frac{1}{3}.3\sqrt{5}=\sqrt{5}\)
