Question

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thang vuông tại $A$ và $B$, $BA=BC=a$, $AD=2a$. Cạnh bên $SA$ vuông góc với mặt đáy và $SA=a\sqrt{2}$. 

a) (1 điểm) Chứng minh $\left( SAB \right) \perp \left( SAD \right)$. 

b) (1 điểm) Tính góc giữa đường thẳng $SC$ và mặt phẳng $\left( SAB \right)$. 

c) (1 điểm) Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $A$ lên $SB$. Tính khoảng cách từ $H$ đến mặt phẳng $\left( SCD \right)$. 

Answer 1

a) SA vuông góc với (ABCD) => SA vuông góc AD; hình thang ABCD vuông tại A => AD vuông góc AB

=> AD vuông góc (SAB), mà AD nằm trong (SAD) nên (SAB) vuông góc (SAD).

b) AD vuông góc (SAB), BC || AD => BC vuông góc (SAB) => B là hc vuông góc của C trên (SAB)

=> (SC,SAB) = ^CAB

\(SB=\sqrt{AS^2+AB^2}=\sqrt{2a^2+a^2}\)\(=a\sqrt{3}\)

\(\tan\widehat{CAB}=\frac{BC}{SB}=\frac{a}{a\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}\)=> (SC,SAB) = ^CAB = 30⁰.

c) T là trung điểm của AD, K thuộc ST sao cho AK vuông góc ST, BT cắt AC tại O, HK cắt AO tại I, AI cắt SC tại L.

BC vuông góc (SAB) => BC vuông góc AH, vì AH vuông góc SB nên AH vuông góc SC. Tương tự AK vuông góc SC

=> SC vuông góc (HAK) => SC vuông góc AI,AL. Lập luận tương tự thì AL,AI vuông góc (SCD).

Dễ thấy \(\Delta\)SAB = \(\Delta\)SAT, chúng có đường cao tương ứng AH và AK => \(\frac{HS}{HB}=\frac{KS}{KT}\)=> HK || BT || CD

=> d(H,SCD) = d(I,SCD) = IL (vì A,I,L vuông góc (SCD)) = \(\frac{IL}{AL}.AL=\frac{CO}{CA}.\frac{SI}{SO}.AL=\frac{1}{2}.\frac{SH}{SB}.\frac{AS.AC}{\sqrt{AS^2+AC^2}}\)

\(=\frac{1}{2}.\frac{SA^2}{SA^2+SB^2}.\frac{AS.AC}{\sqrt{AS^2+AC^2}}=\frac{1}{2}.\frac{2a^2}{2a^2+a^2}.\frac{a\sqrt{2}.a\sqrt{2}}{\sqrt{2a^2+2a^2}}=\frac{a}{3}\)

Answer 2

 

 

 

 

Answer 3

a) Ta có $\{\begin{array}{c}AB\perp AD\\ AB\perp SA\end{array}\Rightarrow AB\perp \left(SAD\right)\Rightarrow \left(SAB\right)\perp \left(SAD\right)$.

b) Ta có $\{\begin{array}{c}BC\perp AB\\ BC\perp SA\end{array}\Rightarrow BC\perp \left(SAB\right)$.

Suy ra góc giữa $SC$ và $\left(SAB\right)$ là góc $\widehat{CSB}$.

CBSB=aa3=13⇒CSB^=30∘.

Vậy $\widehat{\left(SC,\left(SAB\right)\right)}={30}^{\circ }$

c) Gọi $M$là trung điểm $AD$.

Suy ra $ABCM$ là hình vuông và $CM=AB=a$.

12AD nên $\Delta ACD$ vuông tại $C$ hay $AC\perp CD$.

Ta có $\{\begin{array}{c}CD\perp AC\\ CD\perp SA\end{array}\Rightarrow CD\perp \left(SAC\right)$.

Kẻ $AK\perp SC\left(K\in SC\right)$

$\Rightarrow AK\perp \left(SCD\right)\Rightarrow d\left(A,\left(SCD\right)\right)=AK$.

$AC=\sqrt{A{B}^2+B{C}^2}=a\sqrt{2}$.

SA.ACSA2+AC2=a. $(\ast )$

Trong $\left(ABCD\right)$, gọi $\left\{E\right\}=AB\cap CD$.

12AD nên $BC$ là đường trung bình của $\Delta EAD$.

$\Rightarrow SB$ là đường trung tuyến của $\Delta SAE$. $\left(1\right)$

SHSB=SA2SB2=23 $\left(2\right)$

Từ $\left(1\right)$ và $\left(2\right)$ suy ra $H$ là trọng tâm tam giác $\Delta SAE$.

LHLA=13.

d(H,(SCD))d(A,(SCD))=LHLA=13 (∗∗).

a3.

Answer 4

Answer 5

Answer 6

Answer 7

 

Answer 8

a) tg ABCD là hình thang vuông-> AD \(\perp\) AB lại  có SA \(\perp\) (ABCD) -> SA \(\perp\) AD

-> AD\(\perp\) (SAB) ->(SAD) \(\perp\) (SAB) 

b) có AD // BC -> BC\(\perp\)  (SAB) ->SB là hình chiếu của SC lên (SAB)

trong tg SAB vg tại  A có \(SB^2=\sqrt{SA^2+AB^2}\Rightarrow SB=a\sqrt{3}\)

trong tg SBC vg tại B có \(\tan BSC=\dfrac{BC}{SB}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\Rightarrow BSC=\left(SC;SB\right)=\left(SC;\left(SAB\right)\right)=\dfrac{\pi}{6}\)

c) gọi I là trung điểm SC. tg ABC vuông cân ở B nên \(AC=AB\sqrt{2}=a\sqrt{2}=SA\)

-> tg SAC vg cân tại A -> AI \(\perp\) SC   và AI=1/2 SC=a

ddcm tg ACD vg cân tại C mà SA \(\perp\) CD -> CD \(\perp\) (SAC) -> (SCD) \(\perp\) (SAD) -> AI\(\perp\) (SCD)

trong tg SAB vg tại A với AH \(\perp\) SB   có \(\dfrac{1}{AH^2}=\dfrac{1}{AS^2}+\dfrac{1}{AB^2}\Rightarrow AH=a\sqrt{\dfrac{2}{3}}\)

có BC\(\perp\)  (SAB) -> (SBC)\(\perp\)  (SAB) mà AH \(\perp\) SB -> AH \(\perp\) (SBC) -> AH \(\perp\) HI   và AH\(\perp\)  SC 

mà SC\(\perp\)  AI -> SC \(\perp\) (AHI) -> SC \(\perp\) HI-> △SIH ∞ △SBC

->\(\dfrac{IH}{BC}=\dfrac{SI}{SB}\Rightarrow HI=\dfrac{a}{\sqrt{3}}\)

lấy M là hc của H  trên AI . trong tg HAI vg tại H  có \(MI=\dfrac{HI^2}{AI}=\dfrac{a}{3}=d\left(M;\left(SCD\right)\right)\)

 vì AI \(\perp\) (SCD)  nên MH // ( SCD) -> d(M;(SCD))=d(H;(SCD))=\(\dfrac{a}{3}\)

 

 

Answer 9

a) SA vuông góc với (ABCD) => SA vuông góc AD; hình thang ABCD vuông tại A => AD vuông góc AB

=> AD vuông góc (SAB), mà AD nằm trong (SAD) nên (SAB) vuông góc (SAD).

b) AD vuông góc (SAB), BC || AD => BC vuông góc (SAB) => B là hc vuông góc của C trên (SAB)

=> (SC,SAB) = ^CAB

SB=√AS2+AB2=√2a2+a2=a√3

tan^CAB=BCSB =aa√3 =√33 => (SC,SAB) = ^CAB = 30⁰.

c) T là trung điểm của AD, K thuộc ST sao cho AK vuông góc ST, BT cắt AC tại O, HK cắt AO tại I, AI cắt SC tại L.

BC vuông góc (SAB) => BC vuông góc AH, vì AH vuông góc SB nên AH vuông góc SC. Tương tự AK vuông góc SC

=> SC vuông góc (HAK) => SC vuông góc AI,AL. Lập luận tương tự thì AL,AI vuông góc (SCD).

Dễ thấy ΔSAB = ΔSAT, chúng có đường cao tương ứng AH và AK => HSHB =KSKT => HK || BT || CD

=> d(H,SCD) = d(I,SCD) = IL (vì A,I,L vuông góc (SCD)) = ILAL .AL=COCA .SISO .AL=12 .SHSB .AS.AC√AS2+AC2 

=12 .SA2SA2+SB2 .AS.AC√AS2+AC2 =12 .2a22a2+a2 .a√2.a√2√2a2+2a2 =a3 

Answer 10

Answer 11

a) Ta có $\{\begin{array}{c}AB\perp AD\\ AB\perp SA\end{array}\Rightarrow AB\perp \left(SAD\right)\Rightarrow \left(SAB\right)\perp \left(SAD\right)$.

b) Ta có $\{\begin{array}{c}BC\perp AB\\ BC\perp SA\end{array}\Rightarrow BC\perp \left(SAB\right)$.

Suy ra góc giữa $SC$ và $\left(SAB\right)$ là góc $\widehat{CSB}$.

CBSB=aa3=13⇒CSB^=30∘.

Vậy $\widehat{\left(SC,\left(SAB\right)\right)}={30}^{\circ }$

c) Gọi $M$là trung điểm $AD$.

Suy ra $ABCM$ là hình vuông và $CM=AB=a$.

12AD nên $\Delta ACD$ vuông tại $C$ hay $AC\perp CD$.

Ta có $\{\begin{array}{c}CD\perp AC\\ CD\perp SA\end{array}\Rightarrow CD\perp \left(SAC\right)$.

Kẻ $AK\perp SC\left(K\in SC\right)$

$\Rightarrow AK\perp \left(SCD\right)\Rightarrow d\left(A,\left(SCD\right)\right)=AK$.

$AC=\sqrt{A{B}^2+B{C}^2}=a\sqrt{2}$.

SA.ACSA2+AC2=a. $(\ast )$

Trong $\left(ABCD\right)$, gọi $\left\{E\right\}=AB\cap CD$.

12AD nên $BC$ là đường trung bình của $\Delta EAD$.

$\Rightarrow SB$ là đường trung tuyến của $\Delta SAE$. $\left(1\right)$

SHSB=SA2SB2=23 $\left(2\right)$

Từ $\left(1\right)$ và $\left(2\right)$ suy ra $H$ là trọng tâm tam giác $\Delta SAE$.

LHLA=13.

d(H,(SCD))d(A,(SCD))=LHLA=13 (∗∗).

a3.

ABCM

Answer 12

Answer 13

a) Ta có $\{\begin{array}{c}AB\perp AD\\ AB\perp SA\end{array}\Rightarrow AB\perp \left(SAD\right)\Rightarrow \left(SAB\right)\perp \left(SAD\right)$.

b) Ta có $\{\begin{array}{c}BC\perp AB\\ BC\perp SA\end{array}\Rightarrow BC\perp \left(SAB\right)$.

Suy ra góc giữa $SC$ và $\left(SAB\right)$ là góc $\widehat{CSB}$.

CBSB=aa3=13⇒CSB^=30∘.

Vậy $\widehat{\left(SC,\left(SAB\right)\right)}={30}^{\circ }$

c) Gọi $M$là trung điểm $AD$.

Suy ra $ABCM$ là hình vuông và $CM=AB=a$.

12AD nên $\Delta ACD$ vuông tại $C$ hay $AC\perp CD$.

Ta có $\{\begin{array}{c}CD\perp AC\\ CD\perp SA\end{array}\Rightarrow CD\perp \left(SAC\right)$.

Kẻ $AK\perp SC\left(K\in SC\right)$

$\Rightarrow AK\perp \left(SCD\right)\Rightarrow d\left(A,\left(SCD\right)\right)=AK$.

$AC=\sqrt{A{B}^2+B{C}^2}=a\sqrt{2}$.

SA.ACSA2+AC2=a. $(\ast )$

Trong $\left(ABCD\right)$, gọi $\left\{E\right\}=AB\cap CD$.

12AD nên $BC$ là đường trung bình của $\Delta EAD$.

$\Rightarrow SB$ là đường trung tuyến của $\Delta SAE$. $\left(1\right)$

SHSB=SA2SB2=23 $\left(2\right)$

Từ $\left(1\right)$ và $\left(2\right)$ suy ra $H$ là trọng tâm tam giác $\Delta SAE$.

LHLA=13.

d(H,(SCD))d(A,(SCD))=LHLA=13 (∗∗).

a3.

Answer 14

Answer 15

a) Ta có \left\{ \begin{aligned} & AB \perp AD \\ & AB \perp SA \\ \end{aligned} \right.\Rightarrow AB \perp \left( SAD \right)\Rightarrow \left( SAB \right) \perp \left( SAD \right){​AB⊥ADAB⊥SA​⇒AB⊥(SAD)⇒(SAB)⊥(SAD).

b) Ta có \left\{ \begin{aligned} & BC \perp AB \\ & BC \perp SA \\ \end{aligned} \right.\Rightarrow BC \perp \left( SAB \right){​BC⊥ABBC⊥SA​⇒BC⊥(SAB).

Suy ra góc giữa $SC$ và $\left(SAB\right)$ là góc \widehat{CSB}CSB.

Xét tam giác $SAB$ vuông tại $A$ có SB=\sqrt{A{{B}^{2}}+S{{A}^{2}}}=a\sqrt{3}SB=AB2+SA2​=a3​. \tan \widehat{CSB}=\dfrac{CB}{SB}=\dfrac{a}{a\sqrt{3}}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\Rightarrow \widehat{CSB}=30{}^\circtanCSB=SBCB​=a3​a​=3​1​⇒CSB=30∘.

Vậy \widehat{\left( SC,\left( SAB \right) \right)}={{30}^{\circ }}(SC,(SAB))​=30∘

c) Gọi $M$là trung điểm $AD$.

Suy ra $ABCM$ là hình vuông và $CM=AB=a$.

Suy ra CM=\dfrac{1}{2}ADCM=21​AD nên $\Delta ACD$ vuông tại $C$ hay $AC\perp CD$.

Ta có \left\{ \begin{aligned} & CD \perp AC \\ & CD \perp SA \\ \end{aligned} \right.\Rightarrow CD \perp \left( SAC \right){​CD⊥ACCD⊥SA​⇒CD⊥(SAC).

Kẻ $AK\perp SC\left(K\in SC\right)$

$\Rightarrow AK\perp \left(SCD\right)\Rightarrow d\left(A,\left(SCD\right)\right)=AK$.

AC=\sqrt{A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}}=a\sqrt{2}AC=AB2+BC2​=a2​.

Do đó d\left( A,\left( SCD \right) \right)=AK=\dfrac{SA.AC}{\sqrt{S{{A}^{2}}+A{{C}^{2}}}}=ad(A,(SCD))=AK=SA2+AC2​SA.AC​=a. $\left(\ast \right)$

Trong $\left(ABCD\right)$, gọi $\left\{E\right\}=AB\cap CD$.

Ta có \left\{ \begin{aligned} & BC\text{//}AD \\ & BC=\dfrac{1}{2}AD \\ \end{aligned} \right.⎩⎪⎨⎪⎧​​BC//ADBC=21​AD​ nên $BC$ là đường trung bình của $\Delta EAD$.

$\Rightarrow SB$ là đường trung tuyến của $\Delta SAE$. $\left(1\right)$

Mặt khác, tam giác $\Delta SAE$ vuông tại $A$ có chiều cao $AH$ cho ta SH.SB=S{{A}^{2}}\text{ }\Rightarrow \text{ }\dfrac{SH}{SB}=\dfrac{S{{A}^{2}}}{S{{B}^{2}}}=\dfrac{2}{3}SH.SB=SA2 ⇒ SBSH​=SB2SA2​=32​ $\left(2\right)$

Từ $\left(1\right)$ và $\left(2\right)$ suy ra $H$ là trọng tâm tam giác $\Delta SAE$.

Trong $\left(SAE\right)$, gọi \left\{ L \right\}=AH\cap SE\Rightarrow \left\{ \begin{aligned} & AH\cap \left( SCD \right)=\left\{ L \right\} \\ & \dfrac{LH}{LA}=\dfrac{1}{3} \\ \end{aligned} \right.{L}=AH∩SE⇒⎩⎪⎨⎪⎧​​AH∩(SCD)={L}LALH​=31​​.

\Rightarrow \dfrac{d\left( H,\left( SCD \right) \right)}{d\left( A,\left( SCD \right) \right)}=\dfrac{LH}{LA}=\dfrac{1}{3}\text{ }\left( ** \right)⇒d(A,(SCD))d(H,(SCD))​=LALH​=31​ (∗∗).

Từ $\left(\ast \right)$ và $\left(\ast \ast \right)$ suy ra d\left( H,\left( SCD \right) \right)=\dfrac{a}{3}d(H,(SCD))=3a​.

Answer 16

a) Ta có $\{\begin{array}{c}AB\perp AD\\ AB\perp SA\end{array}\Rightarrow AB\perp \left(SAD\right)\Rightarrow \left(SAB\right)\perp \left(SAD\right)$.

b) Ta có $\{\begin{array}{c}BC\perp AB\\ BC\perp SA\end{array}\Rightarrow BC\perp \left(SAB\right)$.

Suy ra góc giữa $SC$ và $\left(SAB\right)$ là góc $\widehat{CSB}$.

CBSB=aa3=13⇒CSB^=30∘.

Vậy $\widehat{\left(SC,\left(SAB\right)\right)}={30}^{\circ }$

c) Gọi $M$là trung điểm $AD$.

Suy ra $ABCM$ là hình vuông và $CM=AB=a$.

12AD nên $\Delta ACD$ vuông tại $C$ hay $AC\perp CD$.

Ta có $\{\begin{array}{c}CD\perp AC\\ CD\perp SA\end{array}\Rightarrow CD\perp \left(SAC\right)$.

Kẻ $AK\perp SC\left(K\in SC\right)$

$\Rightarrow AK\perp \left(SCD\right)\Rightarrow d\left(A,\left(SCD\right)\right)=AK$.

$AC=\sqrt{A{B}^2+B{C}^2}=a\sqrt{2}$.

SA.ACSA2+AC2=a. $(\ast )$

Trong $\left(ABCD\right)$, gọi $\left\{E\right\}=AB\cap CD$.

12AD nên $BC$ là đường trung bình của $\Delta EAD$.

$\Rightarrow SB$ là đường trung tuyến của $\Delta SAE$. $\left(1\right)$

SHSB=SA2SB2=23 $\left(2\right)$

Từ $\left(1\right)$ và $\left(2\right)$ suy ra $H$ là trọng tâm tam giác $\Delta SAE$.

LHLA=13.

d(H,(SCD))d(A,(SCD))=LHLA=13 (∗∗).

d(H,(SCD))=a3

Answer 17

Answer 18

Answer 19

Answer 20

Answer 21

a) Ta có \left\{ \begin{aligned} & AB \perp AD \\ & AB \perp SA \\ \end{aligned} \right.\Rightarrow AB \perp \left( SAD \right)\Rightarrow \left( SAB \right) \perp \left( SAD \right){​AB⊥ADAB⊥SA​⇒AB⊥(SAD)⇒(SAB)⊥(SAD).

b) Ta có \left\{ \begin{aligned} & BC \perp AB \\ & BC \perp SA \\ \end{aligned} \right.\Rightarrow BC \perp \left( SAB \right){​BC⊥ABBC⊥SA​⇒BC⊥(SAB).

Suy ra góc giữa $SC$ và $\left(SAB\right)$ là góc \widehat{CSB}CSB.

Xét tam giác $SAB$ vuông tại $A$ có SB=\sqrt{A{{B}^{2}}+S{{A}^{2}}}=a\sqrt{3}SB=AB2+SA2​=a3​. \tan \widehat{CSB}=\dfrac{CB}{SB}=\dfrac{a}{a\sqrt{3}}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\Rightarrow \widehat{CSB}=30{}^\circtanCSB=SBCB​=a3​a​=3​1​⇒CSB=30∘.

Vậy \widehat{\left( SC,\left( SAB \right) \right)}={{30}^{\circ }}(SC,(SAB))​=30∘

c) Gọi $M$là trung điểm $AD$.

Suy ra $ABCM$ là hình vuông và $CM=AB=a$.

Suy ra CM=\dfrac{1}{2}ADCM=21​AD nên $\Delta ACD$ vuông tại $C$ hay $AC\perp CD$.

Ta có \left\{ \begin{aligned} & CD \perp AC \\ & CD \perp SA \\ \end{aligned} \right.\Rightarrow CD \perp \left( SAC \right){​CD⊥ACCD⊥SA​⇒CD⊥(SAC).

Kẻ $AK\perp SC\left(K\in SC\right)$

$\Rightarrow AK\perp \left(SCD\right)\Rightarrow d\left(A,\left(SCD\right)\right)=AK$.

AC=\sqrt{A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}}=a\sqrt{2}AC=AB2+BC2​=a2​.

Do đó d\left( A,\left( SCD \right) \right)=AK=\dfrac{SA.AC}{\sqrt{S{{A}^{2}}+A{{C}^{2}}}}=ad(A,(SCD))=AK=SA2+AC2​SA.AC​=a. $\left(\ast \right)$

Trong $\left(ABCD\right)$, gọi $\left\{E\right\}=AB\cap CD$.

Ta có \left\{ \begin{aligned} & BC\text{//}AD \\ & BC=\dfrac{1}{2}AD \\ \end{aligned} \right.⎩⎪⎨⎪⎧​​BC//ADBC=21​AD​ nên $BC$ là đường trung bình của $\Delta EAD$.

$\Rightarrow SB$ là đường trung tuyến của $\Delta SAE$. $\left(1\right)$

Mặt khác, tam giác $\Delta SAE$ vuông tại $A$ có chiều cao $AH$ cho ta SH.SB=S{{A}^{2}}\text{ }\Rightarrow \text{ }\dfrac{SH}{SB}=\dfrac{S{{A}^{2}}}{S{{B}^{2}}}=\dfrac{2}{3}SH.SB=SA2 ⇒ SBSH​=SB2SA2​=32​ $\left(2\right)$

Từ $\left(1\right)$ và $\left(2\right)$ suy ra $H$ là trọng tâm tam giác $\Delta SAE$.

Trong $\left(SAE\right)$, gọi \left\{ L \right\}=AH\cap SE\Rightarrow \left\{ \begin{aligned} & AH\cap \left( SCD \right)=\left\{ L \right\} \\ & \dfrac{LH}{LA}=\dfrac{1}{3} \\ \end{aligned} \right.{L}=AH∩SE⇒⎩⎪⎨⎪⎧​​AH∩(SCD)={L}LALH​=31​​.

\Rightarrow \dfrac{d\left( H,\left( SCD \right) \right)}{d\left( A,\left( SCD \right) \right)}=\dfrac{LH}{LA}=\dfrac{1}{3}\text{ }\left( ** \right)⇒d(A,(SCD))d(H,(SCD))​=LALH​=31​ (∗∗).

Từ $\left(\ast \right)$ và $\left(\ast \ast \right)$ suy ra d\left( H,\left( SCD \right) \right)=\dfrac{a}{3}d(H,(SCD))=3a​.

Answer 22

\left\{ \begin{aligned} & AB \perp AD \\ & AB \perp SA \\ \end{aligned} \right.\Rightarrow AB \perp \left( SAD \right)\Rightarrow \left( SAB \right) \perp \left( SAD \right)a) Ta có \left\{ \begin{aligned} & AB \perp AD \\ & AB \perp SA \\ \end{aligned} \right.\Rightarrow AB \perp \left( SAD \right)\Rightarrow \left( SAB \right) \perp \left( SAD \right){​AB⊥ADAB⊥SA​⇒AB⊥(SAD)⇒(SAB)⊥(SAD).

 

b) Ta có \left\{ \begin{aligned} & BC \perp AB \\ & BC \perp SA \\ \end{aligned} \right.\Rightarrow BC \perp \left( SAB \right){​BC⊥ABBC⊥SA​⇒BC⊥(SAB).

Suy ra góc giữa $SC$ và $\left(SAB\right)$ là góc \widehat{CSB}CSB.

Xét tam giác $SAB$ vuông tại $A$ có SB=\sqrt{A{{B}^{2}}+S{{A}^{2}}}=a\sqrt{3}SB=AB2+SA2​=a3​. \tan \widehat{CSB}=\dfrac{CB}{SB}=\dfrac{a}{a\sqrt{3}}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\Rightarrow \widehat{CSB}=30{}^\circtanCSB=SBCB​=a3​a​=3​1​⇒CSB=30∘.

Vậy \widehat{\left( SC,\left( SAB \right) \right)}={{30}^{\circ }}(SC,(SAB))​=30∘

c) Gọi $M$là trung điểm $AD$.

Suy ra $ABCM$ là hình vuông và $CM=AB=a$.

Suy ra CM=\dfrac{1}{2}ADCM=21​AD nên $\Delta ACD$ vuông tại $C$ hay $AC\perp CD$.

Ta có \left\{ \begin{aligned} & CD \perp AC \\ & CD \perp SA \\ \end{aligned} \right.\Rightarrow CD \perp \left( SAC \right){​CD⊥ACCD⊥SA​⇒CD⊥(SAC).

Kẻ $AK\perp SC\left(K\in SC\right)$

$\Rightarrow AK\perp \left(SCD\right)\Rightarrow d\left(A,\left(SCD\right)\right)=AK$.

AC=\sqrt{A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}}=a\sqrt{2}AC=AB2+BC2​=a2​.

Do đó d\left( A,\left( SCD \right) \right)=AK=\dfrac{SA.AC}{\sqrt{S{{A}^{2}}+A{{C}^{2}}}}=ad(A,(SCD))=AK=SA2+AC2​SA.AC​=a. $\left(\ast \right)$

Trong $\left(ABCD\right)$, gọi $\left\{E\right\}=AB\cap CD$.

Ta có \left\{ \begin{aligned} & BC\text{//}AD \\ & BC=\dfrac{1}{2}AD \\ \end{aligned} \right.⎩⎪⎨⎪⎧​​BC//ADBC=21​AD​ nên $BC$ là đường trung bình của $\Delta EAD$.

$\Rightarrow SB$ là đường trung tuyến của $\Delta SAE$. $\left(1\right)$

Mặt khác, tam giác $\Delta SAE$ vuông tại $A$ có chiều cao $AH$ cho ta SH.SB=S{{A}^{2}}\text{ }\Rightarrow \text{ }\dfrac{SH}{SB}=\dfrac{S{{A}^{2}}}{S{{B}^{2}}}=\dfrac{2}{3}SH.SB=SA2 ⇒ SBSH​=SB2SA2​=32​ $\left(2\right)$

Từ $\left(1\right)$ và $\left(2\right)$ suy ra $H$ là trọng tâm tam giác $\Delta SAE$.

Trong $\left(SAE\right)$, gọi \left\{ L \right\}=AH\cap SE\Rightarrow \left\{ \begin{aligned} & AH\cap \left( SCD \right)=\left\{ L \right\} \\ & \dfrac{LH}{LA}=\dfrac{1}{3} \\ \end{aligned} \right.{L}=AH∩SE⇒⎩⎪⎨⎪⎧​​AH∩(SCD)={L}LALH​=31​​.

\Rightarrow \dfrac{d\left( H,\left( SCD \right) \right)}{d\left( A,\left( SCD \right) \right)}=\dfrac{LH}{LA}=\dfrac{1}{3}\text{ }\left( ** \right)⇒d(A,(SCD))d(H,(SCD))​=LALH​=31​ (∗∗).

Từ $\left(\ast \right)$ và $\left(\ast \ast \right)$ suy ra d\left( H,\left( SCD \right) \right)=\dfrac{a}{3}d(H,(SCD))=3a​.

Answer 23

Answer 24

Answer 25

a) Ta có $\{\begin{array}{c}AB\perp AD\\ AB\perp SA\end{array}\Rightarrow AB\perp \left(SAD\right)\Rightarrow \left(SAB\right)\perp \left(SAD\right)$.

b) Ta có $\{\begin{array}{c}BC\perp AB\\ BC\perp SA\end{array}\Rightarrow BC\perp \left(SAB\right)$.

Suy ra góc giữa $SC$ và $\left(SAB\right)$ là góc $\widehat{CSB}$.

CBSB=aa3=13⇒CSB^=30∘.

Vậy $\widehat{\left(SC,\left(SAB\right)\right)}={30}^{\circ }$

c) Gọi $M$là trung điểm $AD$.

Suy ra $ABCM$ là hình vuông và $CM=AB=a$.

12AD nên $\Delta ACD$ vuông tại $C$ hay $AC\perp CD$.

Ta có $\{\begin{array}{c}CD\perp AC\\ CD\perp SA\end{array}\Rightarrow CD\perp \left(SAC\right)$.

Kẻ $AK\perp SC\left(K\in SC\right)$

$\Rightarrow AK\perp \left(SCD\right)\Rightarrow d\left(A,\left(SCD\right)\right)=AK$.

$AC=\sqrt{A{B}^2+B{C}^2}=a\sqrt{2}$.

SA.ACSA2+AC2=a. $(\ast )$

Trong $\left(ABCD\right)$, gọi $\left\{E\right\}=AB\cap CD$.

12AD nên $BC$ là đường trung bình của $\Delta EAD$.

$\Rightarrow SB$ là đường trung tuyến của $\Delta SAE$. $\left(1\right)$

SHSB=SA2SB2=23 $\left(2\right)$

Từ $\left(1\right)$ và $\left(2\right)$ suy ra $H$ là trọng tâm tam giác $\Delta SAE$.

LHLA=13.

d(H,(SCD))d(A,(SCD))=LHLA=13 (∗∗).

a3.

ABCM

 In nội dung

Answer 26

a) Ta có $\{\begin{array}{c}AB\perp AD\\ AB\perp SA\end{array}\Rightarrow AB\perp \left(SAD\right)\Rightarrow \left(SAB\right)\perp \left(SAD\right)$.

b) Ta có $\{\begin{array}{c}BC\perp AB\\ BC\perp SA\end{array}\Rightarrow BC\perp \left(SAB\right)$.

Suy ra góc giữa $SC$ và $\left(SAB\right)$ là góc $\widehat{CSB}$.

CBSB=aa3=13⇒CSB^=30∘.

Vậy $\widehat{\left(SC,\left(SAB\right)\right)}={30}^{\circ }$

c) Gọi $M$là trung điểm $AD$.

Suy ra $ABCM$ là hình vuông và $CM=AB=a$.

12AD nên $\Delta ACD$ vuông tại $C$ hay $AC\perp CD$.

Ta có $\{\begin{array}{c}CD\perp AC\\ CD\perp SA\end{array}\Rightarrow CD\perp \left(SAC\right)$.

Kẻ $AK\perp SC\left(K\in SC\right)$

$\Rightarrow AK\perp \left(SCD\right)\Rightarrow d\left(A,\left(SCD\right)\right)=AK$.

$AC=\sqrt{A{B}^2+B{C}^2}=a\sqrt{2}$.

SA.ACSA2+AC2=a. $(\ast$

 

 

Trong $\left(ABCD\right)$, gọi $\left\{E\right\}=AB\cap CD$.

12AD nên $BC$ là đường trung bình của $\Delta EAD$.

$\Rightarrow SB$ là đường trung tuyến của $\Delta SAE$. $\left(1\right)$

SHSB=SA2SB2=23 $\left(2\right)$

Từ $\left(1\right)$ và $\left(2\right)$ suy ra $H$ là trọng tâm tam giác $\Delta SAE$.

LHLA=13.

d(H,(SCD))d(A,(SCD))=LHLA=13 (∗∗).

a3

 

Answer 27

 

a) Ta có $\{\begin{array}{c}AB\perp AD\\ AB\perp SA\end{array}\Rightarrow AB\perp \left(SAD\right)\Rightarrow \left(SAB\right)\perp \left(SAD\right)$.

b) Ta có $\{\begin{array}{c}BC\perp AB\\ BC\perp SA\end{array}\Rightarrow BC\perp \left(SAB\right)$.

Suy ra góc giữa $SC$ và $\left(SAB\right)$ là góc $\widehat{CSB}$.

CBSB=aa3=13⇒CSB^=30∘.

Vậy $\widehat{\left(SC,\left(SAB\right)\right)}={30}^{\circ }$

c) Gọi $M$là trung điểm $AD$.

Suy ra $ABCM$ là hình vuông và $CM=AB=a$.

12AD nên $\Delta ACD$ vuông tại $C$ hay $AC\perp CD$.

Ta có $\{\begin{array}{c}CD\perp AC\\ CD\perp SA\end{array}\Rightarrow CD\perp \left(SAC\right)$.

Kẻ $AK\perp SC\left(K\in SC\right)$

$\Rightarrow AK\perp \left(SCD\right)\Rightarrow d\left(A,\left(SCD\right)\right)=AK$.

$AC=\sqrt{A{B}^2+B{C}^2}=a\sqrt{2}$

SA.ACSA2+AC2=a. $(\ast )$

Trong $\left(ABCD\right)$, gọi $\left\{E\right\}=AB\cap CD$.

12AD nên $BC$ là đường trung bình của $\Delta EAD$.

$\Rightarrow SB$ là đường trung tuyến của $\Delta SAE$. $\left(1\right)$

SHSB=SA2SB2=23 $\left(2\right)$

Từ $\left(1\right)$ và $\left(2\right)$ suy ra $H$ là trọng tâm tam giác $\Delta SAE$.

LHLA=13.

d(H,(SCD))d(A,(SCD))=LHLA=13 (∗∗).

a3.

 

Answer 28

a) Ta có $\{\begin{array}{c}AB\perp AD\\ AB\perp SA\end{array}\Rightarrow AB\perp \left(SAD\right)\Rightarrow \left(SAB\right)\perp \left(SAD\right)$.

b) Ta có $\{\begin{array}{c}BC\perp AB\\ BC\perp SA\end{array}\Rightarrow BC\perp \left(SAB\right)$.

Suy ra góc giữa $SC$ và $\left(SAB\right)$ là góc $\widehat{CSB}$.

CBSB=aa3=13⇒CSB^=30∘.

Vậy $\widehat{\left(SC,\left(SAB\right)\right)}={30}^{\circ }$

c) Gọi $M$là trung điểm $AD$.

Suy ra $ABCM$ là hình vuông và $CM=AB=a$.

12AD nên $\Delta ACD$ vuông tại $C$ hay $AC\perp CD$.

Ta có $\{\begin{array}{c}CD\perp AC\\ CD\perp SA\end{array}\Rightarrow CD\perp \left(SAC\right)$.

Kẻ $AK\perp SC\left(K\in SC\right)$

$\Rightarrow AK\perp \left(SCD\right)\Rightarrow d\left(A,\left(SCD\right)\right)=AK$.

$AC=\sqrt{A{B}^2+B{C}^2}=a\sqrt{2}$.

 

SA.ACSA2+AC2=a. $(\ast )$

Trong $\left(ABCD\right)$, gọi $\left\{E\right\}=AB\cap CD$.

12AD nên $BC$ là đường trung bình của $\Delta EAD$.

$\Rightarrow SB$ là đường trung tuyến của $\Delta SAE$. $\left(1\right)$

SHSB=SA2SB2=23 $\left(2\right)$

Từ $\left(1\right)$ và $\left(2\right)$ suy ra $H$ là trọng tâm tam giác $\Delta SAE$.

LHLA=13.

d(H,(SCD))d(A,(SCD))=LHLA=13 (∗∗).

a3.

Answer 29

a) Ta có $\{\begin{array}{c}AB\perp AD\\ AB\perp SA\end{array}\Rightarrow AB\perp \left(SAD\right)\Rightarrow \left(SAB\right)\perp \left(SAD\right)$.

b) Ta có $\{\begin{array}{c}BC\perp AB\\ BC\perp SA\end{array}\Rightarrow BC\perp \left(SAB\right)$.

Suy ra góc giữa $SC$ và $\left(SAB\right)$ là góc $\widehat{CSB}$.

CBSB=aa3=13⇒CSB^=30∘.

Vậy $\widehat{\left(SC,\left(SAB\right)\right)}={30}^{\circ }$

c) Gọi $M$là trung điểm $AD$.

Suy ra $ABCM$ là hình vuông và $CM=AB=a$.

12AD nên $\Delta ACD$ vuông tại $C$ hay $AC\perp CD$.

Ta có $\{\begin{array}{c}CD\perp AC\\ CD\perp SA\end{array}\Rightarrow CD\perp \left(SAC\right)$.

Kẻ $AK\perp SC\left(K\in SC\right)$

$\Rightarrow AK\perp \left(SCD\right)\Rightarrow d\left(A,\left(SCD\right)\right)=AK$.

$AC=\sqrt{A{B}^2+B{C}^2}=a\sqrt{2}$.

SA.ACSA2+AC2=a. $(\ast )$

Trong $\left(ABCD\right)$, gọi $\left\{E\right\}=AB\cap CD$.

12AD nên $BC$ là đường trung bình của $\Delta EAD$.

$\Rightarrow SB$ là đường trung tuyến của $\Delta SAE$. $\left(1\right)$

SHSB=SA2SB2=23 $\left(2\right)$

Từ $\left(1\right)$ và $\left(2\right)$ suy ra $H$ là trọng tâm tam giác $\Delta SAE$.

LHLA=13.

d(H,(SCD))d(A,(SCD))=LHLA=13 (∗∗).

a3.