Question

Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại $B$, $AB = a$, $SB = 2a$, $SA \perp AB$ và $SC \perp BC$. $M$, $N$ lần lượt là trung điểm của $SA$ và $BC$. Gọi $\alpha$ là góc giữa $MN$ và $(ABC)$. Tính côsin góc $\alpha$.

Answer 1

Ta có {BC⊥ABAB⊥SC⇒AB⊥CE{BC⊥ABAB⊥SC⇒AB⊥CE

Khi đó {CE⊥ABCE⊥SA⇒CE⊥(SAB){CE⊥ABCE⊥SA⇒CE⊥(SAB)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có: SC2=SE.SB⇒SESB=SC2SB2SC2=SE.SB⇒SESB=SC2SB2, tương tự SDSE=SC2SA2SDSE=SC2SA2

Lại cả CA=AC√2=2a;VS.ABC=13SC.SABC=23a3CA=AC2=2a;VS.ABC=13SC.SABC=23a3

Khi đó VS.CDEVS.ABC=SESBSDSA=SC2SB2.SC2SA2=4648=13VS.CDEVS.ABC=SESBSDSA=SC2SB2.SC2SA2=4648=13

Do đó VS.CDE=13.23a3=2a39VS.CDE=13.23a3=2a39.

Answer 2

Với OLM.VNHọc mà như chơi, chơi mà vẫn học

Answer 3

Dựng hình bình hành $ABCD$, mà $\Delta ABC$ vuông cân nên $ABCD$ là hình vuông.

Ta có $AB\perp AD$ và $AB\perp SA\Rightarrow AB\perp (SAD)$

$\Rightarrow AB\perp SD$.

Lại có $BC\perp CD$ và $SC\perp BC\Rightarrow BC\perp (SDC)$

$\Rightarrow BC\perp SD.$

Vậy $SD\perp (ABCD)$.

Gọi $H$ là trung điểm của $AD\Rightarrow MH\perp (ABCD)$.

$\Rightarrow HN$ là hình chiếu vuông góc của $MN$ lên $(ABCD)$.

$\Rightarrow$ Góc giữa $MN$ với $(ABC)$ là \alpha = \widehat{MNH}α=MNH.

Xét tam giác vuông $MNH$ có \cos \alpha = \dfrac{HN}{MN} = \dfrac{HN}{\sqrt{HN^2 + MH^2}} = \dfrac{\sqrt6}{3}cosα=MNHN​=HN2+MH2​HN​=36​​.

Answer 4

Dựng hình bình hành $ABCD$, mà $\Delta ABC$ vuông cân nên $ABCD$ là hình vuông.

Ta có $AB\perp AD$ và $AB\perp SA\Rightarrow AB\perp (SAD)$

$\Rightarrow AB\perp SD$.

Lại có $BC\perp CD$ và $SC\perp BC\Rightarrow BC\perp (SDC)$

$\Rightarrow BC\perp SD.$

Vậy $SD\perp (ABCD)$.

Gọi $H$ là trung điểm của $AD\Rightarrow MH\perp (ABCD)$.

$\Rightarrow HN$ là hình chiếu vuông góc của $MN$ lên $(ABCD)$.

$\Rightarrow$ Góc giữa $MN$ với $(ABC)$ là \alpha = \widehat{MNH}α=MNH.

Xét tam giác vuông $MNH$ có \cos \alpha = \dfrac{HN}{MN} = \dfrac{HN}{\sqrt{HN^2 + MH^2}} = \dfrac{\sqrt6}{3}cosα=MNHN​=HN2+MH2​HN​=36​​.

Answer 5

Answer 6

\(\sqrt{\dfrac{6}{3}}\)

Answer 7

Dựng hình bình hành $ABCD$, mà $\Delta ABC$ vuông cân nên $ABCD$

là hình vuông.

Ta có $AB\perp AD$

và $AB\perp SA\Rightarrow AB\perp \left(SAD\right)$

$\Rightarrow AB\perp SD$

Lại có $BC\perp CD$

và $SC\perp BC\Rightarrow BC\perp \left(SDC\right)$

$\Rightarrow BC\perp SD$

Vậy $SD\perp \left(ABCD\right)$

Gọi $H$là trung điểm của $AD\Rightarrow MH\perp \left(ABCD\right)$

$\Rightarrow HN$là hình chiếu vuông góc của $MN$ lên $\left(ABCD\right)$

$\Rightarrow$Góc giữa $MN$ với $\left(ABC\right)$ là $\alpha =\widehat{MNH}$

.

Xét tam giác vuông $MNH$

có

Answer 8

Dựng hình bình hành $ABCD$, mà $\Delta ABC$ vuông cân nên $ABCD$ là hình vuông.

Ta có $AB\perp AD$ và $AB\perp SA\Rightarrow AB\perp \left(SAD\right)$

$\Rightarrow AB\perp SD$.

Lại có $BC\perp CD$ và $SC\perp BC\Rightarrow BC\perp \left(SDC\right)$

$\Rightarrow BC\perp SD.$

Vậy $SD\perp \left(ABCD\right)$.

Gọi $H$ là trung điểm của $AD\Rightarrow MH\perp \left(ABCD\right)$.

$\Rightarrow HN$ là hình chiếu vuông góc của $MN$ lên $\left(ABCD\right)$.

$\Rightarrow$ Góc giữa $MN$ với $\left(ABC\right)$ là $\alpha =\widehat{MNH}$.

HNMN=HNHN2+MH2=63.

Answer 9

 

 

Answer 10

Dựng hình bình hành ABCDABCD, mà ΔABCΔABC vuông cân nên ABCDABCD là hình vuông.

Ta có AB⊥ADAB⊥AD và AB⊥SA⇒AB⊥(SAD)AB⊥SA⇒AB⊥(SAD)

⇒AB⊥SD⇒AB⊥SD.

Lại có BC⊥CDBC⊥CD và SC⊥BC⇒BC⊥(SDC)SC⊥BC⇒BC⊥(SDC)

⇒BC⊥SD.⇒BC⊥SD.

Vậy SD⊥(ABCD)SD⊥(ABCD).

Gọi HH là trung điểm của AD⇒MH⊥(ABCD)AD⇒MH⊥(ABCD).

⇒HN⇒HN là hình chiếu vuông góc của MNMN lên (ABCD)(ABCD).

⇒⇒ Góc giữa MNMN với (ABC)(ABC) là α=ˆMNHα=MNH^.

Xét tam giác vuông MNHMNH có cosα=HNMN=HN√HN2+MH2=√63cos⁡α=HNMN=HNHN2+MH2=63.

Answer 11

Answer 12

Dựng hình bình hành $ABCD$, mà $\Delta ABC$ vuông cân nên $ABCD$ là hình vuông.

Ta có $AB\perp AD$ và $AB\perp SA\Rightarrow AB\perp \left(SAD\right)$

$\Rightarrow AB\perp SD$.

Lại có $BC\perp CD$ và $SC\perp BC\Rightarrow BC\perp \left(SDC\right)$

$\Rightarrow BC\perp SD.$

Vậy $SD\perp \left(ABCD\right)$.

Gọi $H$ là trung điểm của $AD\Rightarrow MH\perp \left(ABCD\right)$.

$\Rightarrow HN$ là hình chiếu vuông góc của $MN$ lên $\left(ABCD\right)$.

$\Rightarrow$ Góc giữa $MN$ với $\left(ABC\right)$ là $\alpha =\widehat{MNH}$.

HNMN=HNHN2+MH2=63.

Answer 13

Answer 14

Answer 15

Answer 16

Dựng hình bình hành ABCD, mà ΔABC vuông cân nên ABCD là hình vuông.

Ta có AB⊥AD và AB⊥SA⇒AB⊥(SAD) ⇒AB⊥SD

Lại có BC⊥CD và SC⊥BC⇒BC⊥(SDC) ⇒BC⊥SD

Vậy SD⊥(ABCD)

Gọi H là trung điểm của AD⇒MH⊥(ABCD) ⇒HN là hình chiếu vuông góc của MN lên (ABCD)

⇒Góc giữa MN với (ABC) là α=ˆMNH .

Xét tam giác vuông MNH có cosα=HN/MN=HN/√HN2+MH2=√6/3

Answer 17

Answer 18

Dựng hình bình hành $ABCD$, mà $\Delta ABC$ vuông cân nên $ABCD$ là hình vuông.

Ta có $AB\perp AD$ và $AB\perp SA\Rightarrow AB\perp \left(SAD\right)$

$\Rightarrow AB\perp SD$.

Lại có $BC\perp CD$ và $SC\perp BC\Rightarrow BC\perp \left(SDC\right)$

$\Rightarrow BC\perp SD.$

Vậy $SD\perp \left(ABCD\right)$.

Gọi $H$ là trung điểm của $AD\Rightarrow MH\perp \left(ABCD\right)$.

$\Rightarrow HN$ là hình chiếu vuông góc của $MN$ lên $\left(ABCD\right)$.

$\Rightarrow$ Góc giữa $MN$ với $\left(ABC\right)$ là $\alpha =\widehat{\mathrm{góc(MNH)}}$

${\mathrm{cos(MNH)=HN/MN=\; (căn\; 6)/3}}^{}$

Answer 19

Answer 20

Answer 21

Answer 22

Dựng hình bình hành $ABCD$, mà $\Delta ABC$ vuông cân nên $ABCD$ là hình vuông.

Ta có $AB\perp AD$ và $AB\perp SA\Rightarrow AB\perp \left(SAD\right)$

$\Rightarrow AB\perp SD$.

Lại có $BC\perp CD$ và $SC\perp BC\Rightarrow BC\perp \left(SDC\right)$

$\Rightarrow BC\perp SD.$

Vậy $SD\perp \left(ABCD\right)$.

Gọi $H$ là trung điểm của $AD\Rightarrow MH\perp \left(ABCD\right)$.

$\Rightarrow HN$ là hình chiếu vuông góc của $MN$ lên $\left(ABCD\right)$.

$\Rightarrow$ Góc giữa $MN$ với $\left(ABC\right)$ là $\alpha =\widehat{MNH}$.

HNMN=HNHN2+MH2=63.

Answer 23

Dựng hình bình hành $ABCD$, mà $\Delta ABC$ vuông cân nên $ABCD$ là hình vuông.

Ta có $AB\perp AD$ và $AB\perp SA\Rightarrow AB\perp (SAD)$

$\Rightarrow AB\perp SD$.

Lại có $BC\perp CD$ và $SC\perp BC\Rightarrow BC\perp (SDC)$

$\Rightarrow BC\perp SD.$

Vậy $SD\perp (ABCD)$.

Gọi $H$ là trung điểm của $AD\Rightarrow MH\perp (ABCD)$.

$\Rightarrow HN$ là hình chiếu vuông góc của $MN$ lên $(ABCD)$.

$\Rightarrow$ Góc giữa $MN$ với $(ABC)$ là \alpha = \widehat{MNH}α=MNH.

Xét tam giác vuông $MNH$ có \cos \alpha = \dfrac{HN}{MN} = \dfrac{HN}{\sqrt{HN^2 + MH^2}} = \dfrac{\sqrt6}{3}cosα=MNHN​=HN2+MH2​HN​=36​​.

Answer 24

Answer 25

Answer 26

Answer 27

 

Answer 28

Answer 29

Answer 30

Dựng hình bình hành $ABCD$, mà $\Delta ABC$ vuông cân nên $ABCD$ là hình vuông.

Ta có $AB\perp AD$ và $AB\perp SA\Rightarrow AB\perp \left(SAD\right)$

$\Rightarrow AB\perp SD$.

Lại có $BC\perp CD$ và $SC\perp BC\Rightarrow BC\perp \left(SDC\right)$

$\Rightarrow BC\perp SD.$

Vậy $SD\perp \left(ABCD\right)$.

Gọi $H$ là trung điểm của $AD\Rightarrow MH\perp \left(ABCD\right)$.

$\Rightarrow HN$ là hình chiếu vuông góc của $MN$ lên $\left(ABCD\right)$.

$\Rightarrow$ Góc giữa $MN$ với $\left(ABC\right)$ là $\alpha =\widehat{MNH}$.

cosα=HNMN=HN√HN2+MH2=√63