Question

Cho hình bình hành ABCD. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AB và CD. M là giao điểm của AF và DE. N là giao điểm của BF và EC. CM

a) Tứ giác EMFN là hình bình hành

b) AC, EF, MN đồng quy tại 1 điểm

Answer 1

a/ Do ABCD là hình bình hành => AB=CD => 1/2AB=1/2CD => AE=EB=DF=CF

Do ABCD là hình bình hành => EB//FC=> EB/FC=BN/NF=EN/NC=1(*) (do EB=FC) (Hệ quả định lí Talet)

(*)=>BN=NF => N là trung điểm BF mà E là trung điểm AB => EN là đường trung bình trong tam giác ABF => EN//AF <=> EN//MF(1)

(*) => EN=NC => N là trung điểm EC mà F là trung điểm CD =>FN là đường trung bình trong tam giác ECD =>FN//ED <=> FN//ME(2)

Từ (1)(2) ta được: EMFN là hình bình hành (ĐPCM)

b/ Ta có: AE=FC (câu a) và AE//FC ( do ABCD là hình chữ nhật) => AECF là hình bình hành => AC đồng quy với EF tại trung điểm của EF (cũng là trung điểm của AC) (3). (Gọi điểm mà 2 đường chéo giao nhau là O) 

Lại có: EMFN là hình bình hành 

mà O là trung điểm của EF => MN đồng quy với EF tại O (O lúc này cũng là trung điểm của MN) (4)

=> AC,EF,MN đồng quy tại O

=> AC,EF,MN đồng quy tại 1 điểm (ĐPCM)