Question

Cho hình bình hành ABCD (AB>BC) , dựng AH và CK vuông góc với BD (H,K thuộc BD)

a) chứng minh ; AH=CK 

b)Tứ giác AHCK là hình j tại sao? 

c) gọi M,N lầm lượt là hình chiếu vuông góc của B trên DA và DC

chứng minh : DA.DM+DC.DN=BD^2

Answer 1

CM: a) Xét t/giác AHD và t/giác CKB

có: AD = BC (Vì ABCD là HBH)

 \(\widehat{AHD}=\widehat{CKB}=90^0\)(gt)

 \(\widehat{ADH}=\widehat{KBC}\)(slt của AD // BC)

=? t/giác AHD = t/giác CKB (ch - gn)

=> AH = CK (2 cạnh t/ứng)

b) Xét tứ giác AHCK có AH // CK (Vì cùng vuông góc với BD)

  AH = CK (cmt)

=> AHCK là HBH

c) Xét t/giác ADH và t/giác BDM

có: \(\widehat{MDB}\):chung

 \(\widehat{AHD}=\widehat{M}=90^0\) (gt)

=> t/giác ADH đồng dạng t/giác BDM (g.g)

=> \(\frac{AD}{BD}=\frac{DH}{DM}\) => AD.DM = BD.DH (1)

Xét t/giác DCK và t/giác DBN

có \(\widehat{BDN}\):chung

 \(\widehat{DKC}=\widehat{N}=90^0\)(gt)

=> t/giác DCK đồng dạng t/giác DBN

=> \(\frac{DC}{DB}=\frac{DK}{DN}\)=> DC. DN = DB.DK (2)

Từ (1) và (2) công vế theo vế, ta được:

DA.DM + DC.DN = BD. DH + DB.DK = BD(DH + DK)

vì DH = BK (vì t/giác ADH = t/giác CBK)

=> DA.DM + DC.DN = BD. (BK + DK) = BD²