Question

cho \(\hept{\begin{cases}a,b>\frac{\sqrt{5}-1}{2}\\a+b=ab\end{cases}}\)chung minh rang:

\(\frac{1}{a^2+a-1}+\frac{1}{b^2+b-1}\ge\frac{2}{5}\)

Answer 1

Đặt a-1=x, b-1=y (\(x,y>\frac{\sqrt{5}-3}{2}\))

=> \(xy=1\)

VT= \(\frac{1}{\left(x+1\right)^2+x}+\frac{1}{\left(y+1\right)^2+y}=\frac{1}{\left(\frac{1}{y}+1\right)^2+\frac{1}{y}}+\frac{1}{\left(y+1\right)^2+y}=\frac{y^2+1}{\left(y+1\right)^2+y}\)\(=\frac{2}{5}-\frac{3\left(y-1\right)^2}{\left(y+1\right)^2+y}\ge\frac{2}{5}\)(do \(\left(y+1\right)^2+y=b^2+b-1>0\))

Dấu bằng khi \(x=y=1\)=> \(a=b=2\)

Answer 2

đơn giản hơn cách của quý đây

a+b=ab => \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=1\)Đặt \(\frac{1}{a}=x;\frac{1}{y}=b\)

Khi đó \(\frac{1}{a^2+a-1}=\frac{1}{\left(\frac{1}{x}\right)^2+\frac{1}{x}-1}=\frac{x^2}{1+x-x^2}\)

Chứng minh tương tự với b

=> Đặt A=\(\frac{1}{a^2+a-1}+\frac{1}{b^2+b-1}=\frac{x^2}{1+x-x^2}+\frac{y^2}{1+y-y^2}\)

Cauchy-Schwarz và nhớ: x+y=1 và x²+y² >=1/2

OK