\(\hept{\begin{cases}mx+4y=10-m\left(1\right)\\x+my=4\left(2\right)\end{cases}}\)
từ (2) ta có \(x=4-my\) (3)
thay (3) vào (1) ta có \(m\left(4-my\right)+4y=10-m\)
\(\Leftrightarrow4m-m^2y+4y=10-m\)
\(\Leftrightarrow y\left(4-m^2\right)=10-m-4m\)
\(\Leftrightarrow y\left(4-m^2\right)=10-5m\) \(\left(4\right)\)
để hpt có nghiệm duy nhất thì pt (4) pải có nghiệm duy nhất
\(\Leftrightarrow4-m^2\ne0\Leftrightarrow m^2\ne4\Leftrightarrow m\ne\pm2\)
từ (4) ta có \(y=\frac{10-5m}{4-m^2}\)
\(y=\frac{5m-10}{m^2-4}\)
\(y=\frac{5\left(m-2\right)}{\left(m+2\right)\left(m-2\right)}\)
\(y=\frac{5}{m+2}\)
từ (3) ta có \(x=4-\frac{5m}{m+2}\)
\(x=\frac{4m+8-5m}{m+2}\)
\(x=\frac{8-m}{m+2}\)
theo bài ra \(S=x^2-y^2\)
\(S=\left(\frac{8-m}{m+2}\right)^2-\left(\frac{5}{m+2}\right)^2\)
\(S=\left(\frac{8-m-5}{m+2-m-2}\right)\left(\frac{8-m+5}{m+2+m+2}\right)\)
\(S=\left(3-m\right)\left(\frac{13-m}{2m+4}\right)\)
\(S=\frac{\left(3-m\right)\left(13-m\right)}{2m+4}\)
\(S=\frac{39-3m-13m+m^2}{2m+4}\)
\(S=\frac{m^2-16m+39}{2m+4}\)
