Question

Cho hệ phương trình \(\left\{{}\begin{matrix}x+my=m+1\\mx+y=3m-1\end{matrix}\right.\)   

Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất (x;y) sao cho tích xy nhỏ nhất?

 

Answer 1

`x+my=m+1=>x=m+1-my` thế vào dưới

`=>m(m+1-my)+y-3m+1=0`

`<=>m^2+m-my^2+y-3m-1`

`=>y(1-m^2)=2m-1-m^2`

Hệ có no duy nhất

`=>1-m^2 ne 0=>m ne +-1`

`=>y=(-1+2m-m^2)/(1-m^2)=(m-1)/(m+1)`

`=>x=m+1-my=((m+1)^2-m(m-1))/(m+1)=(3m+1)/(m+1)`

`=>xy=((3m+1)(m-1))/(m+1)^2=(3m^2-2m-1)/(m+1)^2`

Xét `xy+1`

`=(3m^2-2m-1+m^2+2m+1)/(m+1)^2=(4m^2)/(m+1)^2`

`=>xy+1>=0=>xy>=-1`

Dấu "=" xảy ra khi `m=0`