Question

cho hai số x,y thỏa mãn x+y=1. CMR x^3+y^3+xy>=1/2

(nếu cho x,y>=0 thì dễ rồi nhưng không cho thì làm thế nào?)

Answer 1

nếu có đk bạn làm thế nào

Answer 2

TA có x+y=1=>x=1-y=>xy=y(1-y)=y-y^2=-(y^2-y+1/4)+1/4=-(y-1/2)^2+1/4<=1/4

=>2xy<=1/2=>1-2xy>=1/2 . rồi bạn tiếp tục cm như bài cũ

Answer 3

\(x^3+y^3+xy\)

\(=\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)+xy\)

\(=x^2+y^2\)

Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có:

\(\left(1+1\right)\left(x^2+y^2\right)\ge\left(x+y\right)^2=1\)

\(\Leftrightarrow x^2+y^2\ge\frac{1}{2}\)

Dấu " = " xảy ra <=> x=y=0,5

Nếu không dùng Bunhiacopxki thì:

c/m \(x^2+y^2\ge2xy\left(t\text{ự}cm\right)\)

\(\Rightarrow2\left(x^2+y^2\right)\ge x^2+y^2+2xy=1\)

=> ...