Question

Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn

\(\frac{4}{x^2}+\frac{5}{y^2}\ge9\)

 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(Q=2x^2+\frac{6}{x^2}+3y^2+\frac{8}{y^2}\)

CẦN GẤP TRƯỚC 13h

Answer 1

\(Q=2x^2+\frac{6}{x^2}+3y^2+\frac{8}{y^2}\)

\(=\left(2x^2+\frac{2}{x^2}\right)+\left(3y^2+\frac{3}{y^2}\right)+\left(\frac{4}{x^2}+\frac{5}{y^2}\right)\)

Ta có :

\(2x^2+\frac{2}{x^2}\ge2\sqrt{2x^2.\frac{2}{x^2}}=2\sqrt{2.2}=4\) (BĐT AM - GM)

Dấu "=" xảy ra <=> \(2x^2=\frac{2}{x^2}\Rightarrow x=1\)

\(3y^2+\frac{3}{y^2}\ge2\sqrt{3y^2.\frac{3}{y^2}}=2\sqrt{3.3}=6\) (BĐT AM - GM)

Dấu "=" xảy ra <=> \(3y^2=\frac{3}{y^2}\Rightarrow y=1\)

\(\Rightarrow Q=\left(2x^2+\frac{2}{x^2}\right)+\left(3y^2+\frac{3}{y^2}\right)+\left(\frac{4}{x^2}+\frac{5}{y^2}\right)\ge4+6+9=19\)

Dấu "=" xảy ra <=> x = y = 1

Vậỵ GTNN của Q là 19 tại x = y = 1