Sai đề kìa.
Bạn tham khảo: Câu hỏi của Ngoc An Pham - Toán lớp 9 | Học trực tuyến
Ta có \(xy\left(x-y\right)^2+\left(xy-1\right)^2\ge0\Leftrightarrow\left(2+2x+2y+x^2+y^2\right)\left(1+xy\right)\ge\left(1+2x+x^2\right)\left(1+2y+y^2\right)\Leftrightarrow\left[\left(1+x\right)^2+\left(1+y\right)^2\right]\left(1+xy\right)\ge\left(1+x\right)^2\left(1+y\right)^2\Leftrightarrow\dfrac{\left(1+x\right)^2+\left(1+y\right)^2}{\left(1+x\right)^2\left(1+y\right)^2}\ge\dfrac{1}{1+xy}\Leftrightarrow\dfrac{1}{\left(1+x\right)^2}+\dfrac{1}{\left(1+y\right)^2}\ge\dfrac{1}{1+xy}\)
Dấu bằng xảy ra khi \(\left\{{}\begin{matrix}x-1=0\\xy-1=0\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\)\(\left\{{}\begin{matrix}x=1\\y=1\end{matrix}\right.\)
Vậy ta có \(\dfrac{1}{\left(1+x\right)^2}+\dfrac{1}{\left(1+y\right)^2}\ge\dfrac{1}{1+xy}\)
Nhân 2 vào cả 2 vế:
\(VT=\dfrac{2}{\left(x+1\right)^2}+\dfrac{2}{\left(y+1\right)^2}\)
\(\ge\dfrac{2}{\left(1^2+1^2\right)\left(x^2+1^2\right)}+\dfrac{2}{\left(1^2+1^2\right)\left(y^2+1^2\right)}\)
\(=\dfrac{1}{x^2+1}+\dfrac{1}{y^2+1}\)
\(VP=\dfrac{2}{1+xy}\)
Trở về bài toán của Ther
Áp dụng BĐT Bunyakovsky:
\(\left(1+xy\right)\left(1+\dfrac{y}{x}\right)\ge\left(1+y\right)^2\)\(\Rightarrow\dfrac{1}{\left(1+y\right)^2}\ge\dfrac{\dfrac{x}{x+y}}{1+xy}\)
\(\left(1+xy\right)\left(1+\dfrac{x}{y}\right)\ge\left(1+x\right)^2\Rightarrow\dfrac{1}{\left(1+x\right)^2}\ge\dfrac{\dfrac{y}{x+y}}{1+xy}\)
Cộng theo vế ta thu được đpcm.Dấu = chỉ xảy ra khi x=y=1
