Violympic toán 9

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Nguyễn Hải An

Cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn xy + yz + zx = xyz . Cm :

\(\dfrac{xy}{x^3\left(1+x\right)\left(1+y\right)}\) + \(\dfrac{yz}{x^3\left(1+y\right)\left(1+z\right)}\)+ \(\dfrac{zx}{y^3\left(1+z\right)\left(1+x\right)}\)\(\ge\)\(\dfrac{1}{16}\)

Akai Haruma
23 tháng 5 2018 lúc 23:32

Lời giải:

Từ \(xy+yz+xz=xyz\Rightarrow \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1\)

Đặt \(\left(\frac{1}{x}, \frac{1}{y}, \frac{1}{z}\right)=(a,b,c)\Rightarrow a+b+c=1\)

Bài toán tương đương với việc chứng minh:

\(\frac{c^3}{(a+1)(b+1)}+\frac{a^3}{(b+1)(c+1)}+\frac{b^3}{(a+1)(c+1)}\geq \frac{1}{16}\)

Thật vậy, áp dụng BĐT AM-GM ta có:

\(\frac{c^3}{(a+1)(b+1)}+\frac{a+1}{64}+\frac{b+1}{64}\geq 3\sqrt[3]{\frac{c^3}{64^2}}=\frac{3c}{16}\)

Tương tự:

\(\frac{a^3}{(b+1)(c+1)}+\frac{b+1}{64}+\frac{c+1}{64}\geq \frac{3a}{16}\)

\(\frac{b^3}{(c+1)(a+1)}+\frac{c+1}{64}+\frac{a+1}{64}\geq \frac{3c}{16}\)

Cộng các BĐT thu được ở trên:

\(\Rightarrow \text{VT}+\frac{(a+b+c)+3}{32}\geq \frac{3}{16}(a+b+c)\)

\(\Leftrightarrow \text{VT}+\frac{1}{8}\geq \frac{3}{16}\Rightarrow \text{VT}\geq \frac{1}{16}\)

Ta có đpcm

Dấu bằng xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\Leftrightarrow x=y=z=3\)


Các câu hỏi tương tự
Nguyễn Khánh Huyền
Xem chi tiết
Phạm Duy Phát
Xem chi tiết
dia fic
Xem chi tiết
Phác Chí Mẫn
Xem chi tiết
Mai Tiến Đỗ
Xem chi tiết
dia fic
Xem chi tiết
Lê Ánh Huyền
Xem chi tiết
Kakarot Songoku
Xem chi tiết
trần thị trâm anh
Xem chi tiết