Áp dụng bất đẳng thức \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\) (Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi x = y) (Có thể chứng minh bằng biến đổi tương đương)
Được : \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\ge\frac{4}{2\sqrt{2}}=\sqrt{2}\)
Vậy Min P = \(\sqrt{2}\)\(\Leftrightarrow a=b=\sqrt{2}\)
bài này có thể dùng cô si ,Am-Gm và 1/a+1/b>=4/a+b
theo AM-GM ta có:
\(a+b\ge2\sqrt{ab}\)
\(\Rightarrow ab\le\left(a+b\right)\frac{2}{4}\)
Vậy ab=2.Theo AM-GM thì:
\(P\ge\frac{1}{\sqrt{ab}}\) Dấu "=" xảy ra khi P đạt GTNN
\(P=\frac{1}{\sqrt{2}}\)
a + b <= 2căn(2) (1)
P = 1/a + 1/b = (a + b) / ab (*)
nhận thấy với mọi a, b > 0 thì (a-b)^2 >= 0 <=> a^2 - 2ab + b^2 >= 0 <=>
<=> a^2 + (2ab - 4ab) + b^2 >= 0 <=> (a+b)^2 >= 4ab <=> ab <= (a+b)^2 / 4
kết hợp với (*) thì :
P = (a + b) / ab >= (a+b) / [(a+b)^2 / 4] = 4 / (a+b)
mà theo (1) thì a + b <= 2căn(2) nên: 4 / (a+b) >= 4 / 2căn(2) = căn(2)
=> P >= căn(2) hay Pmin = căn(2)
dấu "=" xảy ra <=> (a+b)^2 = 4ab và a + b = 2căn(2)<=> a = b = căn(2)
ap dung BĐT BCS ta co
P>=4/(a+b) >=4/(2căn(2)) =căn(2)
dau bang xay ra khi a=b=căn(2)
ta có:P=1/a+1/b=4a+1/a+4b+1/b-4(a+b)
áp dụng cô si
4a+1/a=<4 4b+1/b>=4
mà a+b=<2 căn 2
nên -4(a+b)>8 căn 2
=>P>=8- 8 căn 2
dấu = xảy ra khi 4a=1/a=>a=0,5;b=0,5
