Question

Cho hai số a. b thỏa mãn điều kiện \(a+b\ge1\) và 1>a>0

Tìm GTNN của biểu thức \(\frac{8a^2+b}{4a}+b^2\)

Answer 1

\(\frac{8a^2+b}{4a}+b^2=2a+\frac{b}{4a}+b^2=a+a+\frac{b}{4a}+b^2\)

\(\ge a+1-b+\frac{1-a}{4a}+b^2=a+1-b+\frac{1}{4a}-\frac{1}{4}+b^2\)(do \(a+b\ge1\))

\(=\left(a+\frac{1}{4a}\right)+b^2-b+\frac{1}{4}+\frac{1}{2}\)

\(\ge2\sqrt{a\cdot\frac{1}{4a}}+\left(b-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{1}{2}\)

\(\ge2\cdot\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}\)

Dấu = khi \(a=b=\frac{1}{2}\)