Câu hỏi của ❤Hàn Tử Thiên❤

Question

Cho hai đa thức $P\left(x\right)=Q\left(x\right)+Q\left(1-x\right)$ với mọi x là số thực . Biết các hệ số của đa thức P(x) là các số nguyên không âm và P(0) = 0 . Tính P(P(7))

❤♚ℳℴℴทℛℴƴຮ♚❤ · Accepted Answer

Vì $P\left(x\right)=Q\left(x\right)+Q\left(1-x\right)$+)$x=0$ $\implies$ $P\left(0\right)=Q\left(0\right)+Q\left(1\right)=0$ +)$x=1$ $\implies$  $P\left(1\right)=Q\left(1\right)+Q\left(0\right)$ $\implies$  $P\left(0\right)=P\left(1\right)=0$Đặt đa thức : P(x) = an  . $x^n$  + an - 1 . $x^{n-1}$  + ...... + a1 . $x^1$ + a0P(x) là đa thức bậc n ; có các hệ số là : an  ; an - 1; .... ; a1 ; a0 P(1) = an +  an - 1  +  ......... + a1 + a0  = 0 Mà a0 ; a1  ; ..... ; an - 1 ; an  $\geq$ 0 $\implies$  an + an - 1 + ... + a1 + a0  $\geq$ 0  $\implies$ P(x)  $\geq$ 0Dấu " = " xảy ra $\iff$ a0 = a1  = ..... = an - 1 = an =  0$\implies$  P(x) = 0 với mọi x $\in$ R$\implies$ P(7) = 0 $\implies$ P(P(7)) = P(0) = 0Vậy P(P(7)) = 0Câu trả lời:  Vì $P\left(x\right)=Q\left(x\right)+Q\left(1-x\right)$+)$x=0$ $\implies$ $P\left(0\right)=Q\left(0\right)+Q\left(1\right)=0$ +)$x=1$ $\implies$  $P\left(1\right)=Q\left(1\right)+Q\left(0\right)$ $\implies$  $P\left(0\right)=P\left(1\right)=0$Đặt đa thức : P(x) = an  . $x^n$  + an - 1 . $x^{n-1}$  + ...... + a1 . $x^1$ + a0P(x) là đa thức bậc n ; có các hệ số là : an  ; an - 1; .... ; a1 ; a0 P(1) = an +  an - 1  +  ......... + a1 + a0  = 0 Mà a0 ; a1  ; ..... ; an - 1 ; an  $\geq$ 0 $\implies$  an + an - 1 + ... + a1 + a0  $\geq$ 0  $\implies$ P(x)  $\geq$ 0Dấu " = " xảy ra $\iff$ a0 = a1  = ..... = an - 1 = an =  0$\implies$  P(x) = 0 với mọi x $\in$ R$\implies$ P(7) = 0 $\implies$ P(P(7)) = P(0) = 0Vậy P(P(7)) = 0

Khoá học trên OLM (olm.vn)

Khoá học trên OLM (olm.vn)