Question

Cho hai biểu thức $A = \dfrac{\sqrt x + 1}{\sqrt x+2}$ và $B = \dfrac3{\sqrt x-1} - \dfrac{\sqrt x+5}{x-1}$ với $x \ge 0,$ $x \ne 1$.

1. Tính giá trị của biểu thức $A$ khi $x = 4$.

2. Chứng minh $B = \dfrac2{\sqrt x+1}$.

3. Tìm tất cả các giá trị của $x$ để biểu thức $P = 2A.B + \sqrt x$ đạt giá trị nhỏ nhất.

Answer 1

a, Ta có : \(x=4\Rightarrow\sqrt{x}=2\)

\(\Rightarrow A=\frac{2+1}{2+2}=\frac{3}{4}\)

Vậy với x = 4 thì A = 3/4 

b, \(B=\frac{3}{\sqrt{x}-1}-\frac{\sqrt{x}+5}{x-1}=\frac{3\left(\sqrt{x}+1\right)-\sqrt{x}-5}{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}\)

\(=\frac{3\sqrt{x}+3-\sqrt{x}-5}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}=\frac{2\sqrt{x}-2}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}=\frac{2}{\sqrt{x}+1}\)( đpcm )

Answer 2

Answer 3

với x=4(t/m DK)

=>\(\sqrt{x}\)=2

thay\(\sqrt{x}\)=2 vào biểu thức A ta được

A=(2+1)/(2+2)

A=3/4

Answer 4

Answer 5

Answer 6

Answer 7

Answer 8

1.

Thay $x=4$ (thỏa mãn ĐKXĐ) vào biểu thức $A$ ta có

A = \dfrac34A=43​.

2.

Với $x\ge 0,$ $x\ne 1$ ta có

B = \dfrac3{\sqrt x-1} - \dfrac{\sqrt x+5}{\left(\sqrt x - 1\right)\left(\sqrt x + 1\right)} = \dfrac{3\left(\sqrt x + 1\right) - \left(\sqrt x + 5\right)}{\left(\sqrt x - 1\right)\left(\sqrt x + 1\right)}B=x​−13​−(x​−1)(x​+1)x​+5​=(x​−1)(x​+1)3(x​+1)−(x​+5)​

=\dfrac{2\left(\sqrt x - 1\right)}{\left(\sqrt x - 1\right)\left(\sqrt x + 1\right)} = \dfrac2{\sqrt x+1}.=(x​−1)(x​+1)2(x​−1)​=x​+12​.

3.

P = 2A.B + \sqrt x = \dfrac4{\sqrt x + 2} + \sqrt xP=2A.B+x​=x​+24​+x​.

Ta có P-2 = \dfrac4{\sqrt x + 2} + \sqrt x - 2 =\dfrac x{\sqrt x+2} \ge 0P−2=x​+24​+x​−2=x​+2x​≥0 với mọi $x\ge 0$.

Suy ra $P\ge 2$. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $x=0.$

Vậy $x=0$ thì biểu thức $P$ đạt giá trị nhỏ nhất.

Answer 9

1. Thay x=4 vào biểu thức A ta được:

\(\dfrac{\sqrt{4}+1}{\sqrt{4}+2}=\dfrac{2+1}{2+2}=\dfrac{3}{4}\)

Vậy với x=4 thì A=\(\dfrac{3}{4}\)

ggffffh

Answer 10

_1;A=\(\dfrac{3}{2}\)

2\(\dfrac{3}{\sqrt{x}-1}-\dfrac{\sqrt{x}+5}{x-1}=\dfrac{3.\left(\sqrt{x}+1\right)-\sqrt{x}-5}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}=\dfrac{3\sqrt{x}+3-\sqrt{x}-5}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}=\dfrac{2\sqrt{x}-2}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}=\dfrac{2\left(\sqrt{x}-1\right)}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}=\dfrac{2}{\sqrt{x}+1}\)

Answer 11

1thay x=4 vào A ta có căn 4 +1/căn 4 +2 = 3/4

2 

3(căn x +1) / (căn x -1).(căn x+1) -căn x +5 / x-1

(=) 3 căn x +3 / x-1 - căn x +5 / x-1

(=)3 căn x +3 -căn x-5 / x-1

(=) 2 căn x -2 / x-1

(=) 2 / căn x +1

3 2A.B+ căn x = 2 căn x + 1 / căn x +2 . 2 / căn x +1 +căn x

=4 / căn x +2 + căn x lớn hơn hoặc bằng 0 với mọi x lớn hơn hoặc bằng 0

Ta có P lớn hơn hoặc bằng 2 khi x=0

vậy với x=0 thì biểu thức B đạt giá trị nhỏ nhất

Answer 12

Answer 13

1.

Thay $x=4$ (thỏa mãn ĐKXĐ) vào biểu thức $A$ ta có

A = \dfrac34A=43​.

2.

Với $x\ge 0,$ $x\ne 1$ ta có

B = \dfrac3{\sqrt x-1} - \dfrac{\sqrt x+5}{\left(\sqrt x - 1\right)\left(\sqrt x + 1\right)} = \dfrac{3\left(\sqrt x + 1\right) - \left(\sqrt x + 5\right)}{\left(\sqrt x - 1\right)\left(\sqrt x + 1\right)}B=x​−13​−(x​−1)(x​+1)x​+5​=(x​−1)(x​+1)3(x​+1)−(x​+5)​

=\dfrac{2\left(\sqrt x - 1\right)}{\left(\sqrt x - 1\right)\left(\sqrt x + 1\right)} = \dfrac2{\sqrt x+1}.=(x​−1)(x​+1)2(x​−1)​=x​+12​.

3.

P = 2A.B + \sqrt x = \dfrac4{\sqrt x + 2} + \sqrt xP=2A.B+x​=x​+24​+x​.

Ta có P-2 = \dfrac4{\sqrt x + 2} + \sqrt x - 2 =\dfrac x{\sqrt x+2} \ge 0P−2=x​+24​+x​−2=x​+2x​≥0 với mọi $x\ge 0$.

Suy ra $P\ge 2$. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $x=0.$

Vậy $x=0$ thì biểu thức $P$ đạt giá trị nhỏ nhất.

Answer 14

Điều kiện: x ≥ 0, x 1

1. Thay x = 4 vào biểu thứ A (thỏa mãn điều kiện) ta có: 

A = \(\dfrac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}+2}=\dfrac{\sqrt{4}+1}{\sqrt{4}+2}=\dfrac{2+1}{2+2}=\dfrac{3}{4}\)

Vậy khi x = 4 thì A = \(\dfrac{3}{4}\)

2. B = \(\dfrac{3}{\sqrt{x}-1}-\dfrac{\sqrt{x}+5}{x-1}\)

       = \(\dfrac{3\left(\sqrt{x}+1\right)}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}-\dfrac{\sqrt{x}+5}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}\)

       = \(\dfrac{3\sqrt{x}+3-\sqrt{x}-5}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}\)

       = \(\dfrac{2\sqrt{x}-2}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}\)

       = \(\dfrac{2\left(\sqrt{x}-1\right)}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}\)

       = \(\dfrac{2}{\sqrt{x}+1}\left(đpcm\right)\)

Vậy B = \(\dfrac{2}{\sqrt{x}+1}\)

Answer 15

Answer 16

Answer 17

A=\(\dfrac{3}{4}\)

x=0

Answer 18

1:\(thay\:x=4\left(TMĐK\right)vào\:biểu\:thức\:A,ta\:được:\dfrac{\sqrt{4}+1}{\sqrt{4}+2}=\dfrac{3}{4}\)

Vậy A =\(\dfrac{3}{4}Tại\:x=4\)

Answer 19

Answer 20

1.Thay x=4 vào biểu thức A

ta có: A=\(\dfrac{\sqrt{4}+1}{\sqrt{4}+2}\)

A=\(\dfrac{2+1}{2+2}\)

A=\(\dfrac{3}{4}\) Vậy A = \(\dfrac{3}{4}\) khi x = 4

2. B= \(\dfrac{3\left(\sqrt{x}+1\right)}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}\)-\(\dfrac{\sqrt{x}+5}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}\)

B=\(\dfrac{3\sqrt{x}+3-\sqrt{x}-5}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}\)

B=\(\dfrac{2\sqrt{x}-2}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}\)

B=\(\dfrac{2\left(\sqrt{x}-1\right)}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}\)

B=\(\dfrac{2}{\sqrt{x}+1}\)

Answer 21

Answer 22

 

 

Answer 23

1. Thay x =4 (thỏa mãn ĐKXĐ) vào biểu thức A ta có :

 A=\(\dfrac{\sqrt{4}+1}{\sqrt{4}+2}=\dfrac{2+1}{2+2}=\dfrac{3}{4}\) 

Vậy với x=4 thì giá trị của A= \(\dfrac{3}{4}\)

2. Ta có: B=\(\dfrac{3}{\sqrt{x}-1}-\dfrac{\sqrt{x}+5}{x-1}=\dfrac{3}{\sqrt{x}-1}-\dfrac{\sqrt{x}+5}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}=\dfrac{3\left(\sqrt{x}+1\right)-\sqrt{x}-5}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}=\dfrac{3\sqrt{x}+3-\sqrt{x}-5}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}=\dfrac{2\sqrt{x}-2}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}=\dfrac{2\left(\sqrt{x}-1\right)}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}=\dfrac{2}{\left(\sqrt{x}+1\right)}\)

3.Ta có : P=2AB=\(2\dfrac{\left(\sqrt{x}+1\right)2}{\left(\sqrt{x}+2\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}+\sqrt{x}=\dfrac{4}{\sqrt{x}+2}+\sqrt{x}=\dfrac{4+x+2\sqrt{x}}{\sqrt{x}+2}=\dfrac{4+x+4\sqrt{x}-2\sqrt{x}}{\sqrt{x}+2}=\dfrac{\left(\sqrt{x}+2\right)^2-2\sqrt{x}}{\sqrt{x}+2}=\sqrt{x}+2-\dfrac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x}+2}\ge2\\ \)

dấu "=" xảy ra khi \(\sqrt{x}-\dfrac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x}+2}=0\Leftrightarrow\dfrac{x+2\sqrt{x}-2\sqrt{x}}{\sqrt{x}+2}=0\Leftrightarrow\dfrac{x}{\sqrt{x}+2}=0\Rightarrow x=0\) (TMĐKXĐ)

Vậy GTNN của P =2 khi x=0

 

Answer 24

1 a=3/4

 

Answer 25

moi

Answer 26

Answer 27

1. thay x=4(tmđk) vào biểu thức A ta có 
A= \(\dfrac{\sqrt{4}+1}{\sqrt{ }4+2}=\dfrac{2+1}{2+2}=\dfrac{3}{4}\)
2. B=\(\dfrac{3}{\sqrt{x}-1}-\dfrac{\sqrt{x}+5}{x-1}=\dfrac{3\left(\sqrt{x}+1\right)-\sqrt{x}-5}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}=\dfrac{3\sqrt{x}+3-\sqrt{x}-5}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}=\dfrac{2\sqrt{x}-2}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}=\dfrac{2.\left(\sqrt{x}-1\right)}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}=\dfrac{2}{\sqrt{ }}\)

Answer 28

Answer 29

1.

Thay x=4 (thỏa mãn ĐKXĐ) vào biểu thức A ta có

A=34.

2.

Với x≥0, x≠1 ta có

B=3√x−1−√x+5(√x−1)(√x+1)=3(√x+1)−(√x+5)(√x−1)(√x+1)

=2(√x−1)(√x−1)(√x+1)=2√x+1.

3.

P=2A.B+√x=4√x+2+√x.

Ta có P−2=4√x+2+√x−2=x√x+2≥0 với mọi x≥0.

Suy ra P≥2. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x=0.

Vậy x=0 thì biểu thức P đạt giá trị nhỏ nhất.

Answer 30