Question

Cho góc xAy khác góc bẹt, Az là tia phân giác của góc xAy, B là điểm cố định trên Ax, C là điểm chuyển động trên đoạn AB, D là điểm chuyển động trên tia Ay sao cho AD=BC. Chứng minh rằng đường trung trực của CD luôn đi qua một điểm cố định khi C và D chuyển động.

Answer 1

Vẽ đường trung trực của AB cắt Az, Ax lần lượt tại M,H

Ta có \(\widehat{DAM}=\widehat{MAB}\)(Az là tia phân giác của góc xAy)

Mà \(\widehat{MBA}=\widehat{MAB}\)(do MH là trung trực của AB)

\(\Rightarrow\widehat{DAM}=\widehat{MBA}\)

Xét \(\Delta ADM\)và \(\Delta BCM\)có:

    AD = BC (gt)

   \(\widehat{DAM}=\widehat{CBM}\)(cmt)

   AM = BM (do MH là trung trực của AB))

Do đó \(\Delta ADM=\Delta BCM\left(c-g-c\right)\)

\(\Rightarrow DM=CM\)(hai cạnh tương ứng)

Khi đó M thuộc đường trung trực của CD

Vậy  đường trung trực của CD luôn đi qua một điểm cố định M  khi C và D chuyển động (đpcm)