Question

Cho góc xAy = 45 độ và điểm O nằm trong góc đó. Vẽ đường tròn (O; OA) cắt Ax và Ay thứ tự tại B và C. Vẽ đường tròn đường kính BC cắt Ax và Ay lần lượt ở M và N. Chứng minh rằng:
a) O là trực tâm của tam giác AMN;
b) \(MN=\frac{BC}{\sqrt{2}}\)
c) Tính tỉ số diện tích của hai tam giác ABC và AMN.

Answer 1

a) M,N thuộc đường tròn đường kính BC=> Tam giác BMC và tam giác BNC vuông tại M,N

Mà \(\widehat{MAN}=45\Rightarrow\)Tam giác MAC và tam giác NAB vuông cân tại M,N 

Khi đó: \(\hept{\begin{cases}OA=OC\\MA=MC\end{cases}\Rightarrow}\)OM là đường trung trực của AC \(\Rightarrow OM\perp AC\)

\(\hept{\begin{cases}OA=OB\\NA=NB\end{cases}\Rightarrow}\)ON là đường trung trực của AB \(\Rightarrow ON\perp AB\)

Vậy O là trực tâm tam giác ABC.

b) \(B,C\in\left(O,OA\right)\Rightarrow OB=OC\)

O thuộc đường tròn đường kính BC=> Tam giác OBC vuông cân tại O \(\Rightarrow\widehat{OBC}=45\)

Tam giác NBA vuông cân tại N \(\Rightarrow\widehat{NBA}=45\)

Vì \(\widehat{OBC}=\widehat{NBA}\) là các góc tại B chắn các cung nhỏ OC và MN của đường tròn đường kính BC \(\Rightarrow MN=OC=BCcos45=\frac{BC}{\sqrt{2}}\)

c) \(\frac{S_{AMN}}{S_{ABC}}=\frac{\frac{1}{2}AM.AN.sin\widehat{MAN}}{\frac{1}{2}AB.AC.sin\widehat{BAC}}=\left(\frac{AM}{AC}\right)\left(\frac{AN}{AB}\right)=cos\widehat{MAN}.cos\widehat{BAC}=cos^245=\frac{1}{2}\)