\(f\left(x\right)=x^2+x+1=x^2+\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}x+\frac{1}{4}+\frac{3}{4}=x\left(x+\frac{1}{2}\right)+\frac{1}{2}\left(x+\frac{1}{2}\right)+\frac{3}{4}\)
\(=\left(x+\frac{1}{2}\right)\left(x+\frac{1}{2}\right)+\frac{3}{4}=\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}\)
Vì \(\left(x+\frac{1}{2}\right)^2\ge0\) \(\)với mọi x \(\in\) R
\(\Rightarrow\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}\ge0+\frac{3}{4}=\frac{3}{4}>0\) với mọi x \(\in\) R
Vẫy f(x) vô nghiệm
f(x) = x2+1/2x+1/2x+1/4+3/4
f(x) = x(x+1/2)+1/2(x+1/2)+3/4
f(x) = (x+1/2)(x+1/2)+3/4
f(x) = (x+1/2)2+3/4
Ta có : (x+1/2)2 luôn lớn hơn hoặc bằng 0 với mọi x
=> (x+1/2)2+3/4 luôn lớn hoặc bằng 3/4 với mọi x
=> f(x) luôn lớn hoặc bằng 3/4 với mọi x
=> f(x) không có nghiệm
vậy thì còn cách này:
+)Xét \(x\ge0\) thì \(x+1>0\)
\(\Rightarrow x\left(x+1\right)\ge0\Rightarrow x\left(x+1\right)+1\ge0+1>0\Rightarrow x^2+x+1>0\)
+)Xét \(-1\)\(<\)\(x\)\(<0\) thì \(x+1>0\)
Lại có: \(x^2\ge0\) với mọi x\(\Rightarrow x^2+x+1>0\)
+)Xét \(x\le-1\) thì \(x<0\) và \(x+1\le0\)
\(\Rightarrow x\left(x+1\right)\ge0\Rightarrow x\left(x+1\right)+1\ge0+1>0\Rightarrow x^2+x+1>0\)
Vậy \(f\left(x\right)=x^2+x+1\) vô nghiệm
