Question

Cho f(x) = \(\frac{1}{6}\)x³ - \(\frac{1}{6}\)x

chứng minh rằng f(x) luôn nhận giá trị nguyên vối mọi x là số nguyên

Answer 1

Ta có 

\(f\left(x\right)=\frac{1}{6}x^3-\frac{1}{6}x\)

\(f\left(x\right)=\frac{1}{6}x\left(x^2-1\right)\)

Ta sẽ chứng minh x(x²-1) luôn chia hết cho 6

Thật vậy, ta có x(x²-1)=x(x-1)(x+1)

Ta có x(x-1)(x+1) luôn chẵn vì nếu x chẵn thì tất nhiên là chẵn. Nếu x lẻ thì x-1 và x+1 chia hết cho 2 => Tích chẵn

Với x=3k  => Tích chia hết cho 3

Với x=3k+1  =>x-1 chia hết cho 3 => tích chia hết cho 3

Với x=3k+2 =>x+1 chia hết cho 3  => Tích chia hết cho 3

Vậy tích luôn chia hết cho 3

Ta có tích chia hết cho 2 và 3, mà (2,3)=1 =>Tích chia hết cho 6

=> x(x²-1) luôn chia hết cho 6

Vậy f(x) luôn là số nguyên

Answer 2

Ta có 
ƒ x =
6
1 x
3 −
6
1 x
ƒ x =
6
1 x x
2 − 1
Ta sẽ chứng minh x(x2
-1) luôn chia hết cho 6
Thật vậy, ta có x(x2
-1)=x(x-1)(x+1)
Ta có x(x-1)(x+1) luôn chẵn vì nếu x chẵn thì tất nhiên là chẵn. Nếu x lẻ thì x-1 và x+1 chia hết cho 2 => Tích chẵn
Với x=3k  => Tích chia hết cho 3
Với x=3k+1  =>x-1 chia hết cho 3 => tích chia hết cho 3
Với x=3k+2 =>x+1 chia hết cho 3  => Tích chia hết cho 3
Vậy tích luôn chia hết cho 3
Ta có tích chia hết cho 2 và 3, mà (2,3)=1 =>Tích chia hết cho 6
=> x(x2
-1) luôn chia hết cho 6
Vậy f(x) luôn là số nguyên