f(n) = n^5-5n^3+4n
=n5-n3-4n3+4n
=n3.(n2-1)-4n.(n2-1)
=n(n2-1)(n2-4)
=n.(n-1)(n+1)(n-2)(n+2)
ta có: n+1 và n là hai số nguyên liên tiếp nên: n.(n-1) chia hết cho 2
n-1;n;n+1 là ba số nguyên liên tiếp nên: n(n-1)(n+1) chia hết cho 3
n-1;n;n+1;n+2 là bốn số nguyên liên tiếp nên: n(n-1)(n+1)(n+2) chia hết cho 4
n-2;n-1;n;n+1;n+2 là năm số nguyên liên tiếp nên n.(n-1)(n+1)(n-2)(n+2) chia hết cho 5
Suy ra: n.(n-1)(n+1)(n-2)(n+2) chia hết cho 2.3.4.5=120
Vậy f(n) chia hết cho 129 với mọi n thuộc Z