Question

Cho đường tròn tâm O, vẽ tia Ox cố định và lấy A di chuyển trên tia đó.Dựng BC là tiếp tuyến chung ngoài của(O) và (A,AO) với B, C là các tiếp điểm (B∈(O), C∈(A)).Chứng minh rằng C nằm trên đường thẳng cố định khi A di chuyển.

Em cảm ơn!

Answer 1

D là giao của (O) với Ox; E là giao của Ox với (A)

Xét (A) có

\(sđ\widehat{COE}=\dfrac{1}{2}sđcungCE=\dfrac{1}{2}\left(sđcungOCE-sđcungCO\right)=\)

\(=\dfrac{1}{2}\left(180^o-sđcungCO\right)=90^o-\dfrac{1}{2}sđcungCO\) (1)

\(sđ\widehat{BCO}=\dfrac{1}{2}sđcungCO\) (góc giữa tiếp tuyến và dây cung)

Xét tg vuông BCO

\(sđ\widehat{BOC}=90^o-sđ\widehat{BCO}=90^o-\dfrac{1}{2}sđcungCO\) (2)

Xét tg CBO và tg CDO có

OB=OD (bán kính (O))

OC chung

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\widehat{BOC}=\widehat{COE}\)

=> tg CBO = tgCDO (c.g.c)\(\Rightarrow\widehat{CDO}=\widehat{CBO}=90^o\)

\(\Rightarrow CD\perp Ox\)

Ta có (O) cố định; Ox cố định => D cố định => đường thẳng đi qua C vuông góc với Ox tại D cố định

Vậy khi A di chuyển thì C luôn nằm trên đường thẳng vuông góc với Ox tại D