Question

Cho đường tròn tâm O, dây AB = 24cm, dây AC = 20cm ($\widehat{BAC}<{90}^\circ$ và O nằm trong góc BAC). Gọi M là trung điểm AC. Khoảng cách từ M đến AB bằng 8cm. Chứng minh rằng tam giác ABC cân tại C và tìm bán kính của đường tròn.

Answer 1

a tgABC can tai c,b oc=12,5

Answer 2

Trên BC lấy I sao cho IC=IB

Ta có AM=MC=AC/2=20/2= 10 cm

Từ M kẻ MH vuông góc AB. Theo gt, ta được MH=8 cm

Áp dụng Pytago trong tam giác vuông AMH: AH²= AM² - MH² = 10² - 8²= 36 ----> AH=6 cm

có AM=MC ; IB=IC ---> MI=1/2AB=1/2 .24 =12 cm( đường TB)

Từ I kẻ IK vuông góc AB

có MI// AB( MI là đường trung bình) ; IK//MK (cùng vuông góc AB) 

---> MIKH là hình bình hành

---> MI=HK=12 cm; MH=IK=8 cm

BK= AB-AH-HK = 24-6-12=6 cm

Xét tam giác AMH và tam giác BIK:

     AH=BK=6 

     góc AHM= góc BKI= 90^O

      MH=IK=8

----> tam giác AMH=tam giác BIK(c.g.c)

----> góc MAH= góc IBK (cặp góc tương ứng) hay góc CAB= góc CBA

----> tam giác ABC cân tại C

b) có AM=MC=AC/2=10 cm ; IB=IC= BC/2 ; mà AC=BC (tam giáccân)

----> AM=MC=IB=IC=10 cm

Kéo dài CO cắt AB tại D

tam giác AOC có OA=OC (bán kính) --> tam giác AOC cân tại O

có OM là trung tuyến ---> OM vuông góc AC hay góc OMC=90^o

Tương tự với tam giác OCB được  OI vuông góc BC hay góc OIC=90^o

Xét tam giác vuông OMC và tam giác vuông OIC:

     MC=IC=10cm

    OC cạnh chung

--->tam giác OMC = tam giác OIC (ch.cgv)

--> góc MCO= góc ICO ---> CO hay CD là phân giác góc ACB của tam giác cân ABC --->

CD vuông góc AB hay góc ADC=90^oAD=BD=AB/2 = 12 cm

Theo Pytago trong tam giác ACD: CD²= AC²-AD² = 20²-12² =256  ---> CD=16 cm

Đặt OC=OA=X --> OD= CD-OC = 16 - X

Theo Pytago tam giác AOD: AO²= OD²+AD²

                                                     ^<-->X²⁼ (16-X)² + 12²

                                                     ^<--> 16² -32X + X² +12² - X²=0

                                       <--> 400 - 32X=0

                                       <--> X= -400/-32= 12,5 cm

 Vậy bán kính đường tròn bằng 12,5 cm

Answer 3

a) Kẻ MH $\perp$ AB.

Tam giác vuông AHM có AM = 10cm. MH = 8cm nên AH = 6cm. Kẻ CK $\perp$ AB.

Ta có: CK = 2MH = 16cm, AK = 2AH = 12cm.

Do AK = \frac{1}{2}ABAK=21​AB nên CK là đường trung trực của AB, do đó CK đi qua O.

Vậy tam giác ABC cân tại C.

b) $\Delta OMC\backsim \Delta AKC$ (g-g) \Rightarrow \frac{MC}{KC}=\frac{OC}{AC}\Rightarrow\frac{10}{16}=\frac{OC}{20}\Rightarrow OC=12,5cm⇒KCMC​=ACOC​⇒1610​=20OC​⇒OC=12,5cm.

Answer 4

a) kẻ MH vuông góc với AB

Tam giác vuông AHM có AM =10cm ,MN=8cm nên AH=6cm .Kẻ CK vuông góc với AB

Ta có CK=2MH=16cm,AK=2AH=12cmdo AK =1/2 (AB) nên CK là đường trung trực của AB,do đó CK đi qua O

vậy tam giác ABC cân tại C

b) xét tam giác OMC và tam giác AKC có góc KCA chung, góc AKC= góc OMC

Vậy tam giác OMC đồng dạng với tam giác AKC(g-g)

⇒MC/KC=OC/AC⇒10/16=OC/20⇒OC=12,5cm

Answer 5

 Kẻ MH $\perp$ AB.

Tam giác vuông AHM có AM = 10cm. MH = 8cm nên AH = 6cm(pitago).

Kẻ CK $\perp$ AB.

Ta có: CK = 2MH = 16cm, AK = 2AH = 12cm.(đường trung bình)

Do $AK$ =\(\dfrac{1}{2}AB\) nên CK là đường trung trực của AB, do đó CK đi qua O.

Vậy tam giác ABC cân tại C.

Xét tam giác OMC và tam giác AKC có

          góc ACK chung

          góc OMC=góc AKC

=>tam giác OMC đòng dạng tam giác AKC

=>\(\dfrac{MC}{KC}=\dfrac{OC}{AC}=>\dfrac{10}{16}=\dfrac{OC}{20}=>OC=12,5\left(cm\right)\)

Answer 6

  

Answer 7

Kẻ MH vuông góc với AB 

Trong △AHM vuông tại H có AM²= AH²+ HM²( định lý pytago ) 

                         ⇒ AH² = AM² - HM²

                                   ⇒AH =6 cm 

Kẻ CK vuông góc với AB 

Có CK vuông góc với AB , MH vuông góc với AB 

⇒ MH song song với CK 

Xét △ACK có MH song song với CK và M là trung điểm của AC 

⇒H là trung điểm của AK và CK= 2MH ( đường trung bình)

CÓ AK=2AH= 12cm

CK=2MH= 16cm

trong (O) có Ok chứa đường kính mà Ok vuông gó với AB và AB là dây không đi qua tâm 

⇒ K là trung điểm của AB ⇒ AB=2AK hay AK = \(\dfrac{1}{2}\)AB 

Xét△ABC có CK là đường trung trực nên △ABC là tam giác cân tại C 

 

 

 

Answer 8

    

Answer 9

Bài làm:

a) Kẻ MH $\perp$ AB.

Tam giác vuông AHM có AM = 10cm. MH = 8cm nên AH = 6cm. Kẻ CK $\perp$ AB.

Ta có: CK = 2MH = 16cm, AK = 2AH = 12cm.

Do AK = \frac{1}{2}ABAK=21​AB nên CK là đường trung trực của AB, do đó CK đi qua O.

Vậy tam giác ABC cân tại C.

b) $\Delta OMC\backsim \Delta AKC$ (g-g) \Rightarrow \frac{MC}{KC}=\frac{OC}{AC}\Rightarrow\frac{10}{16}=\frac{OC}{20}\Rightarrow OC=12,5cm⇒KCMC​=ACOC​⇒1610​=20OC​⇒OC=12,5cm.

Answer 10

Kẻ MH $\perp$ AB.

 

Tam giác vuông AHM có AM = 10cm. MH = 8cm nên AH = 6cm. Kẻ CK $\perp$ AB.

Ta có: CK = 2MH = 16cm, AK = 2AH = 12cm.

Do AK=12ABAK=21​AB nên CK là đường trung trực của AB, do đó CK đi qua O.

Vậy tam giác ABC cân tại C.

b) $\Delta OMC\backsim \Delta AKC$ (g-g) ⇒MCKC=OCAC⇒1016=OC20⇒OC=12,5cm⇒KCMC​=ACOC​⇒1610​=20OC​⇒OC

Answer 11

 

Answer 12

Answer 13

OC=12,5 (cm)

 

Answer 14

    

Answer 15

a) Kẻ MH $\perp$ AB.

Tam giác vuông AHM có AM = 10cm. MH = 8cm nên AH = 6cm. Kẻ CK $\perp$ AB.

Ta có: CK = 2MH = 16cm, AK = 2AH = 12cm.

Do AK = \frac{1}{2}ABAK=21​AB nên CK là đường trung trực của AB, do đó CK đi qua O.

Vậy tam giác ABC cân tại C.

b) $\Delta OMC\backsim \Delta AKC$ (g-g) \Rightarrow \frac{MC}{KC}=\frac{OC}{AC}\Rightarrow\frac{10}{16}=\frac{OC}{20}\Rightarrow OC=12,5cm⇒KCMC​=ACOC​⇒1610​=20OC​⇒OC=12,5cm.

                   

Answer 16

Kẻ MH $\perp$ AB.

Tam giác vuông AHM có AM = 10cm. MH = 8cm nên AH = 6cm. Kẻ CK $\perp$ AB.

Ta có: CK = 2MH = 16cm, AK = 2AH = 12cm.

Do AK = \frac{1}{2}ABAK=21​AB nên CK là đường trung trực của AB, do đó CK đi qua O.

Vậy tam giác ABC cân tại C.

b) $\Delta OMC\backsim \Delta AKC$ (g-g) \Rightarrow \frac{MC}{KC}=\frac{OC}{AC}\Rightarrow\frac{10}{16}=\frac{OC}{20}\Rightarrow OC=12,5cm⇒KCMC​=ACOC​⇒1610​=20OC​⇒OC=12,5cm.

Answer 17

a) Kẻ MH $\perp$ AB.

Tam giác vuông AHM có AM = 10cm. MH = 8cm nên AH = 6cm. Kẻ CK $\perp$ AB.

Ta có: CK = 2MH = 16cm, AK = 2AH = 12cm.

Do AK = \frac{1}{2}ABAK=21​AB nên CK là đường trung trực của AB, do đó CK đi qua O.

Vậy tam giác ABC cân tại C.

b) $\Delta OMC\backsim \Delta AKC$ (g-g) \Rightarrow \frac{MC}{KC}=\frac{OC}{AC}\Rightarrow\frac{10}{16}=\frac{OC}{20}\Rightarrow OC=12,5cm⇒KCMC​=ACOC​⇒1610​=20OC​⇒OC=12,5cm.

Answer 18

Kẻ HM vuông góc với AB△vuông AHM có AM =10 cm,MH=8 cm nên AH =6 cm

Kẻ CK vuông góc với AB

Ta có: CK =2MH=16 cm

AK =2AH=12 cm

Do AK=\(\dfrac{1}{2}\)AB nên CK là đường trung trực của AB,do đó CK đi qua O

Vậy △ABC cân tại C

OM là khoảng cách từ O đến dây AC và đi qua trung điểm của dây đó ⇒OM là đường cao từ O đến dây AC hay OM vuông góc với AC

Xét △OMC và △AKC có :

góc C chung

góc CKA = góc OMC (=\(90^0\))

⇒△MOC ≈ △AKC(g.g)

⇒\(\dfrac{MC}{KC}=\dfrac{OC}{AC}\)⇒\(\dfrac{10}{16}=\dfrac{OC}{20}\)

⇒OC=12,5 cm

Answer 19

 Tam giác vuông AHM  . Áp dụng định lý Pi-ta-go ta có : AH =\(\sqrt{AM^2-HM^2}=\sqrt{10^2-8^2}=6\left(cm\right)\)Kẻ CK⊥AB  mà MH⊥ AB   => CK// MH ( cùng vg góc với AB)

tam giác ACK có AM=MC và CK//MH . AD tc đường trung bình của tam giác ta có                                   CK = 2MH = 16cm, AK = 2AH = 12cm. 

Do AK=KB =1/2 AB và OK  ⊥AB      AK=12ABAK=21​AB nên CK là đường trung trực của AB, do đó CK đi qua O.

Vậy tam giác ABC cân tại C.

b) $\Delta OMC\backsim \Delta AKC$ xét Δ OMC và ΔAKC có:

góc ACK chung

góc OMC = góc AKC =90 độ ( CK  vuông góc với AB ,OM vg góc với AC theo qhe vuông góc giưax đường kính & dây)       
vậy tam g OMC = tam g AKC (g.g)   

\(\dfrac{MC}{AC}=\dfrac{OC}{AC}\) =>\(\dfrac{10}{16}=\dfrac{OC}{20}\)

OC= 12,5 (cm)

 

 

 

⇒MCKC=OCAC⇒1016=OC20⇒OC=12,5cm⇒KCMC​=ACOC​⇒1610​=20O

Answer 20

a, kẻ MH vuông góc AB 

có M là trung điểm có AC\(\Rightarrow\)AM \(=\dfrac{1}{2}\)AC\(=\dfrac{1}{2}\)20\(=10cm\)

ADDL pi-ta-go trong \(\Delta vuông\)AHM CÓ

AM²\(=\)MH²+AH²\(\Rightarrow\)AH²\(=\)AM²- MH²\(=\)10²-8²\(=36\Rightarrow AH=6cm\)

có: CK\(=2MH=2.8=16cm;AK=2AH=2.6=12cm\)

mà \(AK=\dfrac{1}{2}AB\)(bán kính\(=\dfrac{1}{2}đường\) kính)

nên CK là đường trung trực của AB \(\Rightarrow\)CK đi qua O

\(\Rightarrow\Delta\)ABC cân tại O

b, xét\(\Delta OMCvà\Delta AKC\)ta có

góc C chung

góc AKC\(=gócOMC=90^0\)

\(\Rightarrow\Delta OMC\sim\Delta AKC\)(G.G)

\(\Rightarrow\dfrac{MC}{KC}=\dfrac{OC}{AC}\Rightarrow\dfrac{10}{6}=\dfrac{OC}{20}\Rightarrow OC=\)(10.20)\(\div\)16\(=\)12,5cm

Answer 21

a) Kẻ MH $\perp$ AB.

Tam giác vuông AHM có AM = 10cm. MH = 8cm nên AH = 6cm. Kẻ CK $\perp$ AB.

Ta có: CK = 2MH = 16cm, AK = 2AH = 12cm.

Do AK = \frac{1}{2}ABAK=21​AB nên CK là đường trung trực của AB, do đó CK đi qua O.

Vậy tam giác ABC cân tại C.

b) $\Delta OMC\backsim \Delta AKC$ (g-g) \Rightarrow \frac{MC}{KC}=\frac{OC}{AC}\Rightarrow\frac{10}{16}=\frac{OC}{20}\Rightarrow OC=12,5cm⇒KCMC​=ACOC​⇒1610​=20OC​⇒OC=12,5cm.

Answer 22

Kẻ MH $\perp$ AB.

 

Tam giác vuông AHM có AM = 10cm. MH = 8cm nên AH = 6cm. Kẻ CK $\perp$ AB.

Ta có: CK = 2MH = 16cm, AK = 2AH = 12cm.

Do AK=12ABAK=21​AB nên CK là đường trung trực của AB, do đó CK đi qua O.

Vậy tam giác ABC cân tại C.

b) $\Delta OMC\backsim \Delta AKC$ (g-g) ⇒MCKC=OCAC⇒1016=OC20⇒OC=12,5cm⇒KCMC​=ACOC​⇒1610​=20OC​⇒OC=12,5cm

Answer 23

 

Answer 24

a) Kẻ MH $\perp$ AB.

Tam giác vuông AHM có AM = 10cm. MH = 8cm nên AH = 6cm. Kẻ CK $\perp$ AB.

Ta có: CK = 2MH = 16cm, AK = 2AH = 12cm.

Do AK = \frac{1}{2}ABAK=21​AB nên CK là đường trung trực của AB, do đó CK đi qua O.

Vậy tam giác ABC cân tại C.

b) $\Delta OMC\backsim \Delta AKC$ (g-g) \Rightarrow \frac{MC}{KC}=\frac{OC}{AC}\Rightarrow\frac{10}{16}=\frac{OC}{20}\Rightarrow OC=12,5cm⇒KCMC​=ACOC​⇒1610​=20OC​⇒OC=12,5cm.

 

Answer 25

a) Kẻ MH $\perp$ AB.

Tam giác vuông AHM có AM = 10cm. MH = 8cm nên AH = 6cm. Kẻ CK $\perp$ AB.

Ta có: CK = 2MH = 16cm, AK = 2AH = 12cm.

Do AK = \frac{1}{2}ABAK=21​AB nên CK là đường trung trực của AB, do đó CK đi qua O.

Vậy tam giác ABC cân tại C.

b) $\Delta OMC\backsim \Delta AKC$ (g-g) \Rightarrow \frac{MC}{KC}=\frac{OC}{AC}\Rightarrow\frac{10}{16}=\frac{OC}{20}\Rightarrow OC=12,5cm⇒KCMC​=ACOC​⇒1610​=20OC​⇒OC=12,5cm

Answer 26

a) Kẻ MH $\perp$ AB.

Tam giác vuông AHM có AM = 10cm. MH = 8cm nên AH = 6cm. Kẻ CK $\perp$ AB.

Ta có: CK = 2MH = 16cm, AK = 2AH = 12cm.

Do $AK=\frac{1}{2}AB$ nên CK là đường trung trực của AB, do đó CK đi qua O.

Vậy tam giác ABC cân tại C.

b) $\Delta OMC\backsim \Delta AKC$ (g-g) $\Rightarrow \frac{MC}{KC}=\frac{OC}{AC}\Rightarrow \frac{10}{16}=\frac{OC}{20}\Rightarrow OC=12,5cm$

Answer 27

a) Kẻ MH $\perp$ AB.

Tam giác vuông AHM có AM = 10cm. MH = 8cm nên AH = 6cm. Kẻ CK $\perp$ AB.

Ta có: CK = 2MH = 16cm, AK = 2AH = 12cm.

Do AK = \frac{1}{2}ABAK=21​AB nên CK là đường trung trực của AB, do đó CK đi qua O.

Vậy tam giác ABC cân tại C.

b) $\Delta OMC\backsim \Delta AKC$ (g-g) \Rightarrow \frac{MC}{KC}=\frac{OC}{AC}\Rightarrow\frac{10}{16}=\frac{OC}{20}\Rightarrow OC=12,5cm⇒KCMC​=ACOC​⇒1610​=20OC​⇒OC=12,5cm

Answer 28

    

Answer 29

Answer 30

a) Kẻ MH $\perp$ AB.

Tam giác vuông AHM có AM = 10cm. MH = 8cm nên AH = 6cm. Kẻ CK $\perp$ AB.

Ta có: CK = 2MH = 16cm, AK = 2AH = 12cm.

Do AK = \frac{1}{2}ABAK=21​AB nên CK là đường trung trực của AB, do đó CK đi qua O.

Vậy tam giác ABC cân tại C.

b) $\Delta OMC\backsim \Delta AKC$ (g-g) \Rightarrow \frac{MC}{KC}=\frac{OC}{AC}\Rightarrow\frac{10}{16}=\frac{OC}{20}\Rightarrow OC=12,5cm⇒KCMC​=ACOC​⇒1610​=20OC​⇒OC=12,5cm.