Cho đường tròn tâm O bán kính R và một điểm M nằm ngoài đường tròn.
Qua M kẻ tiếp tuyến MA với đường tròn (A là tiếp điểm). Tia Mx nằm giữa MA và MO cắt
đường tròn (O; R) tại hai điểm C và D (C nằm giữa M và D). Gọi I là trung điểm của dây
CD, kẻ AH vuông góc với MO tại H.
a/ Tính OH. OM theo R.
b/ Chứng minh: Bốn điểm M, A, I , O cùng thuộc một đường tròn.
c/ Gọi K là giao điểm của OI với HA. Chứng minh KC là tiếp tuyến của đường tròn (O; R).
a) Ta có: ΔOHA∼ΔOAM(g.g)ΔOHA∼ΔOAM(g.g)
⇔OHOA=OAOM⇔OA2=OH.OM=R2⇔OHOA=OAOM⇔OA2=OH.OM=R2
b) Ta có: ΔOAMΔOAM vuông tại A
ΔOIMΔOIM vuông tại I.
=> OM là cạnh huyền chung của hai tam giác trên
=> ˆOIM;ˆOAMOIM^;OAM^ cùng chắn OM
Vậy O, I, A, M cùng nằm trên đường tròn đường kính OM
c) Ta có: ΔOMI∼ΔOKH(g.g)ΔOMI∼ΔOKH(g.g)
⇔OIOH=OMOK⇔OI.OK=OH.OM=R2=OC2⇔OIOH=OMOK⇔OI.OK=OH.OM=R2=OC2⇒OCOK=OIOC⇒OCOK=OIOC
Xét ΔOCKvàΔOICΔOCKvàΔOIC
OCOK=OIOCOCOK=OIOC
ˆO:chungO^:chung
⇒ΔOCK∼ΔOIC(c.g.c)⇒ˆOCK=ˆOIC=90o⇒OC⊥OK⇒ΔOCK∼ΔOIC(c.g.c)⇒OCK^=OIC^=90o⇒OC⊥OK
=> KC là tiếp tuyến đường tròn (O; R)
