Cho đường tròn tâm O bán kính R. Một đường thẳng d không đi qua O và cắt đường tròn tại hai điểm phân biệt A và B. Trên d lấy điểm M sao cho A nằm giữa M và B. Từ M kẻ hai tiếp tuyến MC và MD với đường tròn (C, D là các tiếp điểm).
1.Chứng minh rằng 4 điểm M,C,O,D cùng nằm trên một đường tròn.
2. Gọi I là trung điểm của AB. Đường thẳng IO cắt tia MD tại K.
Chứng minh rằng KD. KM = KO. KI
3. Một đường thẳng đi qua O và song song với CD cắt các tia MC và MD lần lượt tại E và F. Xác định vị trí của M trên d sao cho diện tích tam giác MEF đạt giá trị nhỏ nhất.
1. MCOD nội tiếp đường tròn (+2 góc đối nhau =180o)
=> đpcm
2. OAI = OBI (c.g.c)
=> ^AOI = ^BOI
=> OI là phân giác cx là trung tuyến
=> OI là đường cao
=> ^OIA = 90o
=> ^OIM = 90o
OIDM nội tiếp (OIM =ODM = 90o)
=> KOD = KMI
.................=> tg KMI ~ tg KOD
=> đpcm....
Im mồm 🤬🤬🤬
1.Ta có: \(\widehat{MDO}+\widehat{MCO}=180^0\)
=> Tứ giác MDOC nội tiếp đường tròn đường kính MO
=> 4 điểm M,D,O,C cùng thuộc 1 đường tròn (đpcm)
2.Vì I là trung điểm của dây cung AB và OI đi qua AB => OI \(\perp\)AB (đường kính đi qua trung điểm của 1 dây thì vuông góc với dây ấy)
Xét \(\Delta MIK\)và \(\Delta ODK\)có
\(\widehat{MIK}=\widehat{ODK}=90^0\)
\(\widehat{DOK}=\widehat{IMK}\)(Cùng phụ với \(\widehat{MKO}\))
=> \(\Delta MIK~\Delta ODK\left(g-g\right)\)
=> \(\frac{KI}{KD}=\frac{KM}{KO}\Rightarrow KI.KO=KM.KD\left(đpcm\right)\)
3. Gọi giao điểm của CD và OM là H
Ta có DM và MC là 2 tiếp tuyến cắt nhau tại M => OH là tia phân giác của \(\widehat{DOC}\)và MO là tia phân giác của \(\widehat{FME}\)(tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau)
\(\Delta ODC\)cân tại O (OD=OC) có OH là tia phân giác => OH cũng là đường cao của \(\Delta ODC\)
=>OH \(\perp\)DC hay OM \(\perp\)DC
Ta có: EF//CD và OM \(\perp\)CD => OM \(\perp\)EF
Xét \(\Delta MOF\)và \(\Delta MOE\)có
\(\widehat{MOF}=\widehat{MOE}=90^0\)
MO là cạnh chung
\(\widehat{FMO}=\widehat{EMO}\)
=> \(\Delta MOF=\Delta MOE\left(cgv-gnk\right)\)
Mà \(S_{MOF}+S_{MOE}=S_{MEF}\)
\(\Rightarrow S_{MOE}=\frac{1}{2}S_{MEF}\)
\(S_{MEF}=2S_{MOE}=OC.ME=R.ME=R\left(MC+CE\right)\)
Ta có: \(ME=MC+CE\ge2\sqrt{MC.CE}=2\sqrt{OC^2}=2R\)(BĐT Cô-si)
\(\Rightarrow S_{MEF}=R.\left(MC+CE\right)\ge R.2R=2R^2\)
Dấu "=" xảy ra khi MC=CE=R => \(OM=R\sqrt{2}\)
Vậy M là giao điểm của \(\left(O,R\sqrt{2}\right)\)và đường thẳng d thì SMEF đạt giá trị nhỏ nhất
