Question

Cho đường tròn tâm I . Cho điểm k ngoài đường tròn . Kẻ tiếp tuyến KA , KB , CA , B là tuyến điểm . C là điểm đối xứng  A qua I . Tiếp tuyến của đường tròn tại điểm C cắt AB ở E . Em hãy chứng minh rằng I E L C K .

Answer 1

Do C là đối xứng của A qua tâm I nên AC là đường kính của đường tròn. Đặc biệt ta có \(CB\perp AB\)

Vì KA,KB là tiếp tuyến của đường tròn nên \(\angle AIK=\angle KIB,KI\perp AB.\) Suy ra \(BC\parallel KI\).

Từ đây ta suy ra \(\angle ACB=\angle KIB\left(=\angle AIK\right).\) Mà \(CE\perp AC\) (do CE là tiếp tuyến), \(\angle AEC=\angle ACB.\).  Vậy ta có \(\angle BEC=\angle BIK\). Suy ra \(\Delta BEC\sim\Delta BIK\left(g.g\right)\to\frac{BE}{BI}=\frac{BC}{BA}.\)

Mà \(\angle EBI=\angle CBK=90^{\circ}+\angle IBC\to\Delta KBC\sim\Delta IBE\left(c.g.c\right)\). Thành thử ta suy ra \(\angle BKC=\angle BIE\), mà \(BK\perp BI\to IE\perp KC\)  (ĐPCM).