Question

Cho đường tròn (O,R) và điểm M nằm ngoài đường tròn.Qua M kẻ 2 tiếp tuyến MA,MB với đường tròn (O,R)(A,B là điểm điểm).Đoạn thẳng OM cắt đoạn thẳng AB tại điểm H và cắt đường tròn (O,R) tại điểm I1.Chứng minh 4 điểm M,A,B,O cùng thuộc 1 đường tròn2,kẻ đường kính AD của đường tròn (O,R).đoạn thẳng MD cắt đường tròn (O,R) tại điểm C khác D.Chứng minh MA^2=MH.MO=MC.MD

Answer 1

Lời giải:

1.

Vì $MA, MB$ là tiếp tuyến của $(O)$ nên:

$MA\perp OA, MB\perp OB$

$\Rightarrow \widehat{MAO}=\widehat{MBO}=90^0$

Tứ giác $MAOB$ có tổng 2 góc đối nhau $\widehat{MAO}+\widehat{MBO}=90^0+90^0=180^0$ nên là tứ giác nội tiếp.

$\Rightarrow M, A, O,B$ cùng thuộc 1 đường tròn.

2.

Vì $MA=MB, OA=OB$ nên $MO$ là trung trực cuả $AB$

$\Rightarrow MO\per AB$ tại $H$

Xét tam giác $AMO$ vuông tại $A$ có đường cao $AH$. Áp dụng hệ thức lượng trong tgv thì:

$MA^2=MH.MO$

Xét tam giác $MCB$ và $MBD$ có:

$\widehat{M}$ chung

$\widehat{MBC}=\widehat{MDB}$ (góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung thì bằng góc nội tiếp chắn cung đó)

$\Rightarrow \triangle MCB\sim \triangle MBD$ (g.g)

$\Rightarrow \frac{MC}{MB}=\frac{MB}{MD}$

$\Rightarrow MC.MD=MB^2$

Mà $MB^2=MA^2\Rightarrow MA^2=MH.MO=MC.MD$ (đpcm)

 

 

Answer 2

Hình vẽ:

Answer 3

Hình vẽ: