Question

Cho đường tròn (O;r) và điểm M nằm ngoài đường tròn, biết khoảng cách từ M đến O là d. Kẻ cát tuyến MAB với đường tròn. Gọi C là điểm đối xứng với A qua M. D là trung điểm của đoạn BC. Hãy so sánh BD với \(\left(d-r\right)\left(d+r\right)\)

Answer 1

Xin lỗi các bạn. Đề bài đúng phải là so sánh BD với \(\sqrt{\left(d-r\right)\left(d+r\right)}\)

Answer 2

Gọi E là trung điểm AB \(\Rightarrow OE\perp AB\)

Do D là trung điểm BC \(\Rightarrow BD=\dfrac{1}{2}BC\) (1)

Do C đối xứng A qua M \(\Rightarrow AM=\dfrac{1}{2}AC\)

Do E là trung điểm AB \(\Rightarrow AE=\dfrac{1}{2}AB\)

\(\Rightarrow AM+AE=\dfrac{1}{2}AC+\dfrac{1}{2}AB\Rightarrow ME=\dfrac{1}{2}BC\) (2)

(1);(2) \(\Rightarrow BD=ME\)

Trong tam giác vuông OAE, do OA là cạnh huyền và OE là cạnh góc vuông \(\Rightarrow OE< OA\Rightarrow OE< r\)

Áp dụng định lý Pitago:

\(ME^2=OM^2-OE^2=d^2-OE^2>d^2-r^2\)

\(\Rightarrow BD^2>d^2-r^2\Rightarrow BD>\sqrt{\left(d-r\right)\left(d+r\right)}\)

Answer 3

Hình đây nhé

Gọi E là trung điểm AB \(\Rightarrow OE\perp AB\)

Do D là trung điểm BC \(\Rightarrow BD=\dfrac{1}{2}BC\) (1)

Do C đối xứng A qua M \(\Rightarrow AM=\dfrac{1}{2}AC\)

Do E là trung điểm AB \(\Rightarrow AE=\dfrac{1}{2}AB\)

\(\Rightarrow AM+AE=\dfrac{1}{2}AC+\dfrac{1}{2}AB\Rightarrow ME=\dfrac{1}{2}BC\) (2)

(1);(2) \(\Rightarrow BD=ME\)

Trong tam giác vuông OAE, do OA là cạnh huyền và OE là cạnh góc vuông \(\Rightarrow OE< OA\Rightarrow OE< r\)

Áp dụng định lý Pitago:

\(ME^2=OM^2-OE^2=d^2-OE^2>d^2-r^2\)

\(\Rightarrow BD^2>d^2-r^2\Rightarrow BD>\sqrt{\left(d-r\right)\left(d+r\right)}\)

Answer 4

Mình có cách khác này:

Kẻ tiếp tuyến MT của (O)

Dễ thấy rằng \(\widehat{MTA}=\widehat{MBT}\left(=\frac{1}{2}sđ\widebat{TA}\right)\)

Từ đó dễ dàng chứng minh \(\Delta MTA~\Delta MBT\left(g.g\right)\)\(\Rightarrow\frac{MT}{MB}=\frac{MA}{MT}\)\(\Rightarrow MT^2=MA.MB\)

\(\Rightarrow MT=\sqrt{MA.MB}\). Mà \(MA=MC\left(gt\right)\)\(\Rightarrow MT=\sqrt{MB.MC}\)(1)

Mặt khác D là trung điểm BC \(\Rightarrow BD=\frac{BC}{2}\)

Mà \(BD=MB+MC\)\(\Rightarrow BD=\frac{MB+MC}{2}\)(2)

Áp dụng BĐT Cô-si: \(\frac{MB+MC}{2}\ge\sqrt{MB.MC}\)(3)

Từ (1), (2) và (3) \(\Rightarrow BD\ge MT\)

Nhận thấy dấu"=" không thể xảy ra vì \(MB\ne MC\)\(\Rightarrow BD>MT\)(4)

Vì MT là tiếp tuyến tại T của (O) \(\Rightarrow\Delta OMT\)vuông tại T

\(\Rightarrow OM^2=MT^2+OT^2\)\(\Rightarrow MT^2=OM^2-OT^2\)\(\Rightarrow MT=\sqrt{OM^2-OT^2}=\sqrt{\left(OM-OT\right)\left(OM+OT\right)}=\sqrt{\left(d-r\right)\left(d+r\right)}\)(5)

Từ (4) và (5) \(\Rightarrow BD>\sqrt{\left(d-r\right)\left(d+r\right)}\)