Cho đường tròn (O;R) và 1 điểm A ở ngoài đường tròm và 1 điểm M di động trên đường thẳng d vuông góc với OA tại A, vẽ các tiếp tuyến MB và MC với đường tròn (B,C là các tiếp điểm).Dây BC cắt OM và OA lần lượt tại H và K.
a, CMR: OA.OB không đổi.
b, CMR: H di động trên 1 đường tròn cố định.
c, Cho biết OA=2R hãy xác định vị trí của điểm M để diện tích tứ giác MBOC nhỏ nhất.Tính giá trị nhỏ nhất.
a ta có \(\Delta\)OHK đồng dạng \(\Delta\)OAM \(\Rightarrow\)\(\frac{OK}{OM}\)=\(\frac{OH}{OA}\)\(\Rightarrow\)OK.OA=OH.OM
OM\(\perp\)BC\(\Leftrightarrow\)OC=OB NÊN O\(\in\)Đường trung trực của BC
MC=MB\(\Leftrightarrow\)M\(\in\)Đường trung trực của BC \(\Rightarrow\)OM\(\perp\)BC
XÉT \(\Delta\)OCM vuông tại C CH\(\perp\)OM\(\Rightarrow\)OC2=OH.OM \(\Rightarrow\)OK.OA ko đổi
a, tam giác 0HK đồng dạng với 0AM
0K/0M = 0H / 0A
nên 0K .0A = 0H.0M
em chúng minh 0M vuông góc với BC
0C = 0B nên 0 thuộc đường trung trực của BC
MC = MB nên M thuộc trung trực của BC
nên 0M là trung trực của BC
nên 0M vuông góc với BC tại H
tam giác 0CM vuông tại C , CH vuông góc với 0M
nên 0C^2 = 0H, 0M
nên không đổi nhé
Em chứng minh K không đổi đi
Theo câu a thầy chứng minh bên trên thì có:
OA.OK=OH.OM=OB^2=R^2
=>OA.OK=R^2=>OK=R^2/OA
Gọi I là trung điểm OK
tam giác OHK vuông tại H nên ta có:IH=1/2OK=R^2/2OA
mà O,A không đổi nên OA không đổi
=>IH không đổi
Hay H thuộc đường tròn tâm I bán kính R^2/2OA
với I là điểm nằm giữa O và A thỏa mãn OI=1/2OK=R^2/2OA
(đường tròn có tâm nằm trên đường thẳng OA và đi qua O bán kính R^2/2OA
Câu c em làm như sau nhé
Diện tích tứ giác MBOC=OM.HC
nên để diện tích tứ giác MBOC min thì OM.HC Min
Xét:OM^2.HC^2=OM^2.(OC^2-OH^2)=OM^2.OC^2-OM^2.OH^2=OM^2.R^2-R^4 (Do OM.OH=R^2)
=>Để OM,HC min thì OM^2.R^2 min hay OM^2 Min
mà OM>=OA (do OM là cạnh huyền của tam giác vuông OAM)
=>OM min <=>OM=OA hay M trùng với A
Khi đó OM^2.HC^2=(2R)^2.R^2-R^4=3R^4
=>Diện tích tứ giác MBOC Min=căn 3 R^2 <=>M trùng với A
