Cho đường tròn (O) và (O') cắt nhau tại A và B. Dây Ac của (O') tiếp xúc với (O) tại A. Tia CB cắt đường tròn (O) tại điểm thứ 2 là D. Gọi K là điểm thuộc dây AD. Vẽ dây BE của (O) sao cho BE đi qua K. Tia CK cắt (O') ở điểm thứ 2 là I và cắt AE ở F. Chứng minh rằng
a) AIDF là tứ giác nội tiếp
b) DF là tiếp tuyến của (O)
a) Ta có: AIBC nội tiếp ( O')
=> ^BAC = ^BIC (1)
ABDE nội tiếp ( O) có CA là tiếp tuyến
=> ^CAB = ^ADB ( cùng chắn cung AB ) (2)
Từ (1) ; (2) => ^ADB = ^BIC => ^KDB = ^CIB => B; I; K; D nội tiếp => ^KBD = ^KID
mà ^KBD = ^EBD = ^EAD = FAD
=> ^FAD = ^KID = ^FID
=> FAID nội tiếp
b) Kéo dài tia FD ------> tia Fx
FAID nội tiếp => ^DFI = ^DAI
I; A: C; B nội tiếp ( O') => ^IAB = ^ICB
=> ^DFI + ^ICB = ^DAI + ^IAB
Mà ^xDC = ^DFC + ^DCF = ^DFI + ^ICB
^DAB = ^DAI + ^IAB
=> ^xDC = ^DAB => ^xDB = ^DAB
=> Dx là tiếp tuyến ( O)
=> DF là tiếp tuyến ( O)
