Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Ngọc Anh

Cho đường tròn (O) và một điểm I nằm ngoài đường tròn. Qua I kẻ hai tiếp tuyến IM và IN với đường tròn (O). Gọi K là điểm đối xứng với M qua O. Đường thẳng IK cắt đường tròn (O) tại H. 

chứng minh HM.KN=HN.KM

 

Lê Thị Ngọc Bích
11 tháng 5 2023 lúc 13:18

Để chứng minh HM.KN=HN.KM, ta sẽ sử dụng định lí Ptolemy cho tứ giác HMIN và KMNO.

Ta có:

Tứ giác HMIN là tứ giác nội tiếp do hai tiếp tuyến IM và IN của đường tròn (O).
Tứ giác KMNO là tứ giác điều hòa do K là điểm đối xứng của M qua O.
Áp dụng định lí Ptolemy cho tứ giác HMIN, ta được:
HM.IN + HN.IM = HI.MN

Áp dụng định lí Ptolemy cho tứ giác KMNO, ta được:
KM.NO + KO.MN = KN.MO

Vì K là điểm đối xứng của M qua O nên KO=OM. Thay vào biểu thức trên, ta được:
KM.NO + OM.MN = KN.MO
KM.NO + MN² = KN.MO

Nhân cả hai vế của phương trình trên với IM.IN, ta được:
KM.NO.IM.IN + MN².IM.IN = KN.MO.IM.IN
HM.KN + MN².IM.IN = HN.KM.IM.IN

Từ đó suy ra:
HM.KN = HN.KM + MN²/IM.IN

Nhưng IM và IN lần lượt là đường cao của tam giác HIM và tam giác HIN nên:
IM.IN = HM.HN

Thay vào biểu thức trên, ta được:
HM.KN = HN.KM + MN²/HM.HN

Ta thấy rằng tam giác HIM và tam giác HIN đồng dạng nên:
HM/HN = IM/IN

Thay vào biểu thức trên, ta được:
HM.KN = HN.KM + MN².IM²/IN²

Vì tam giác HIM và tam giác HIN đồng dạng nên:
IM/IN = HM/HN

Thay vào biểu thức trên, ta được:
HM.KN = HN.KM + MN².HM²/HN²

Điều này chứng tỏ HM.KN=HN.KM nên ta đã chứng minh được điều phải chứng minh.


Các câu hỏi tương tự
Ngọc Anh
Xem chi tiết
Ngọc Anh
Xem chi tiết
Ngọc Anh
Xem chi tiết
Ngọc Anh
Xem chi tiết
Ngọc Anh
Xem chi tiết
Min Yoongi
Xem chi tiết
Pham Trong Bach
Xem chi tiết
anh đức
Xem chi tiết
Lê Thị Minh Hòa
Xem chi tiết