Question

Cho đường tròn ( O ) và điểm M nằm ngòai đường tròn ( O ). Kẻ các tiếp tuyến MA va MB với ( O ) ( A,B là các tiếp điểm ). Gọi giao điểm của OM và AB là  I. Đường thẳng MO cắt đường tròn ( O ) tại C và D ( C nằm giữa O và M ).

Chứng minh MC.MD=MI.MO

Các bạn chứng minh gấp giùm mình nhé!!!!!!!!!!!!!

Answer 1

(Trình vẽ hình còn non!)

Ta có: \(\hept{\begin{cases}MA=MB\\OA=OB=R\end{cases}}\)(MA=MB vì tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau tại M)

\(\Rightarrow OM\)là trung trực của \(AB\)

\(\Rightarrow IA=IB\)và \(OM⊥AB\)tại \(I\)

Xét \(\Delta BCM\)và \(\Delta BDM\)có:

\(\hept{\begin{cases}\widehat{DMB}:chung\\\widehat{BDM}=\widehat{CBM}\end{cases}}\)(Góc BDM = góc CBM vì cùng chắn cung BC)

\(\Rightarrow\Delta BCM~\Delta DCM\left(g.g\right)\)

\(\Rightarrow\frac{MB}{MD}=\frac{MC}{MB}\)

\(\Rightarrow MB.MB=MC.MD\)

\(\Rightarrow MB^2=MC.MD\)

Xét \(\Delta OMB\)vuông tại \(B\), đường cao \(BI\)có:

\(MB^2=MI.MO\)

Mà: \(MB^2=MD.MC\left(cmt\right)\)

\(\Rightarrow MD.MC=MI.MO\left(đpcm\right)\)