Cho đường tròn $(O)$ ngoại tiếp tam giác nhọn $ABC$. Gọi $M$ và $N$ lần lượt là điểm chính giữa cung nhỏ $AB$ và cung nhỏ $BC$. Hai dây $AN$ và $CM$ cắt nhau tại điểm $I$. Dây $MN$ cắt các cạnh $AB$ và $BC$ lần lượt tại các điểm $H$ và $K$.
1) Chứng minh $C$, $N$, $I$, $K$ cùng thuộc một đường tròn.
2) Chứng minh $NB^2 = NK.NM$.
a) Do M là điểm chính giữa cung AB nên AM⌢=MB⌢ .
Suy ra ACM^=MCB^
(Hai góc nội tiếp chắn các cung bằng nhau)
Lại có ACM^=ANM^
(Hai góc nội tiếp cùng chắn một cung)
Nên INK^=ICK^
Xét tứ giác KICN có INK^=ICK^
nên KICN là tứ giác nội tiếp hay C, N, K, I cùng thuộc một đường tròn.
b) Do N là điểm chính giữa cung BC nên BN⌢=NC⌢
Vậy thì BMN^=KBN^
(Hai góc nội tiếp chắn các cung bằng nhau)
Xét tam giác BMN và tam giác KBN có:
Góc B chung
BMN^=KBN^
⇒ΔBMN∼ΔKBN(g−g)
⇒BNKN=MNBN⇒NB2=NK.NM.