Gọi MP, QP cắt AB tại K, L
Ta chứng minh được PQ vuông góc AB
\(\Delta\)AON đồng dạng \(\Delta\)APB suy ra \(AN=AM=\sqrt{OA^2+OM^2}=\frac{R\sqrt{5}}{2}\)
\(\frac{AO}{AP}=\frac{ON}{PB}=\frac{AN}{AB}\Rightarrow\frac{R}{AP}=\frac{\frac{R}{2}}{PB}+\frac{\frac{R\sqrt{5}}{2}}{2R}=\frac{\sqrt{5}}{4}\Rightarrow AP=\frac{4R\sqrt{5}}{5};BP=\frac{2R\sqrt{5}}{5}\)
Ta có
\(BP^2=BL.AB\Rightarrow BL=\frac{BP^2}{AB}=\frac{2R}{5};OL=OB-BL=\frac{3R}{5};PL=\sqrt{BP^2-BL^2}=\frac{4R}{5}\)\(\frac{KL}{OK}=\frac{KP}{MK}=\frac{PL}{OM}=\frac{\frac{4R}{5}}{\frac{R}{2}}=\frac{8}{5}\Rightarrow\frac{KL}{8}=\frac{OK}{5}=\frac{OL}{13}=\frac{\frac{3R}{5}}{13}=\frac{3R}{65}\Rightarrow KL=\frac{24R}{65};OK=\frac{3R}{13}\)
\(MP=MK+KP=\sqrt{OM^2+OK^2}+\sqrt{KL^2+PL^2}=\frac{\sqrt{205}R}{10}\)
có \(MP=\frac{\sqrt{205}R}{10},AP=\frac{4R\sqrt{5}}{5};AM=\frac{R\sqrt{5}}{2}\)
\(AM^2+MP^2\ne AP^2\)nên MA không vuông góc MP
Sorry, vừa rồi mình nhầm O với giao điểm của AB với QN.
Mình sửa lại như sau: Gọi H là giao của QN và AB, F là giao của AB và QP. Từ P vẽ PK vuông góc với CD tại K.
Giả sử AQ vuông góc với MP suy ra H là trực tâm tam giác AQP. Suy ra BH = 2 . BF.
Vì HN song song với BP và PK // AO ta có đẳng thức sau:
NK/NO = PK / AO = NP/NA = BH/HA
suy ra
(r-KD)/(r/2) = (r-BF)/r = 2BF/(2r-2BF)
ở đó r là bán kính đường tròn (O). Ngoài ra ta còn có BF.(2r-BF) = PF^2 = (r-KD)^2
Từ đó rút ra điều vô lý.
Nếu AM vuông góc với MP thì suy ra MO song song với QB.. Suy ra M là trung điểm của AQ. Suy ra CQ song song với AO. Suy ra góc QCD = 90 độ (vô lý). Suy ra AM không vuông góc với MP.
