Question

Cho đường tròn (O) đường kính AB. Qua trung điểm E của OB kẻ một đường thẳng vuông góc với OB, cắt đường tròn (O) ở M và N. Kẻ dây MP song song với AB. Gọi I là điểm chính giữa của cung nhỏ PM. Gọi K là giao điểm của OI và PM. Chứng minh rằng:

a) \(\stackrel\frown{AP}=\stackrel\frown{BN}\).

b) Tứ giác $OKME$ là hình chữ nhật.

c) Ba điểm $P,$ $O,$ $N$ thẳng hàng và $KE // PN$.

Answer 1

Thọ tested! h heeeee

\(\sqrt{2222}\)

\(\dfrac{1}{22}\)

Answer 2

Giải :

a) Xét (O) có PM // AB

⇒ 2 cung AP và BM bị chắn bởi 2 dây trên sẽ bằng nhau. 

mà BM = BN ( △ BMN cân tại B vì có BE vừa là đ/c, đường trung tuyến △)

⇒ cung BM = cung BN

⇒ cung AP = cung BN

b) Xét (O) có OI đi qua điểm chính giữa của PM (gt)

⇒ OI vuông góc với dây PM tại K

⇒góc OKM = 90 độ.

Xét tứ giác OKME có 3 góc vuông : góc OKM = 90 độ (cmt),

góc MEO = 90 độ ( MN vuông góc với OB tại E

 góc EMK = 90 độ ( vì PM//AB, AB vuông góc với MN ⇒ PM vuông góc với MN tại M )

⇒ OKME là hcn

c) Ta có : góc OPI = góc NOE  ( vì 2 góc đông vị, MP//AB)

mà góc OPI + góc POI = 90 độ ( △POK vuông tại K )

⇒góc NOE + góc POI = 90 độ

⇒ góc NOE + góc POI + góc IOE = 90 + 90 = 180 độ

⇒ P,O,N thẳng hàng

- Xét △ PMN có KE đường TB ( K trđ PM, E trđ MN )

⇒ KE//PN

 

Answer 3

a)  CÓ PM //AB 

=> CUNG AP= CUNG MB ( TÍNH CHẤT) (1)

MÀ CM ĐƯỢC B LÀ ĐIỂM CHÍNH GIỮA CUNG MN => CUNG MB=CUNG NB (2)

TỪ (1) (2) => CUNG AP= CUNG NB 

b)  CM ĐƯỢC KME=90 ĐỘ ( VÌ PM //AB MÀ AB VUÔNG GÓC MN )

VÌ I LÀ ĐIỂM CHÍNH GIỮA CUNG PM => OI VUÔNG GÓC PM TẠI K => OKM = 90 ĐỘ 

TỨ GIÁC OKME CÓ OKM=KME=MEO=90 ĐỘ => TỨ GIÁC OKME LÀ HÌNH CHỮ NHẬT 

c) CHỨNG MINH ĐƯỢC KE LÀ ĐƯỜNG TRUNG BÌNH CỦA TAM GIÁC PMN => KE // PN 

MẶT KHÁC CÓ OK=ME=NE MÀ NE//OK (CÙNG VUÔNG GÓC AB )

=> TỨ GIÁC OKNE LÀ HÌNH BÌNH HÀNH => KE//ON 

CÓ KE//ON MÀ KE//PN NÊN PN TRÙNG ON => O, P, N THẲNG HÀNG 

 

Answer 4

Answer 5

Answer 6

 

a) Xét đường tròn (O) có: \(AB\perp MN\) tại E(GT)

=> EM = EN; cung BM= cung BN

Lại có: cung AP = cung BM ( 2 cung nằm giữa 1 dây song song thì bằng nhau )

=> cung AP = cung BN (đpcm)

b) Xét đường tròn (O) có OI đi qua điểm chính giữa I của cung OM

=> KP = KM và \(OI\perp PM\) tại K=>  {\displaystyle \angle } OKM = 90°

mà \(MN\perp AB\) (GT)

       MP // AB (GT)

=> \(MN\perp MP\) =>  NMP = 90° hay  EMK = 90°

Ta có: \(MN\perp AB\) (GT) =>{\displaystyle \angle }MEA= 90° hay  MEO =  90°

Xét tứ giác OKME có: OKM = 90° (cmt)

  EMK = 90°(cmt)

 MEO =  90°(cmt)

=> tứ giác OKME là hình chữ nhật (dhnb) (đpcm)

c)   *  Vì cung AP = cung BN ( câu a) 

=>  AOP =  BON

mà 3 điểm A,O,B thẳng hàng nên 3 điểm P,O,N cũng thẳng hàng ( đpcm )

* Xét \(\Delta MNP\) có: EM = EN ( câu a )

                        KP = KM ( câu b)

=> KE là đường trung bình của \(\Delta MNP\)

=> KE // PN ( đpcm )

 

 

Answer 7

a, có I nằm chính giữa cung MD

=> OI vuông góc với PM, cung PI=cung IM

mà PM song song với AB =>AB vuông góc với IO

=> I nằm chính giữa cung AB

=> cung IA = cung IB 

mà cung PI =cung IM

=>cung AP = cung MB

b,xét tứ giác OKME có

OE vuông góc với ME

ME vuông góc với PM

MK vuông góc ới KO

=> tứ giác OKME là hình chữ nhật

c,có tam giác OMN cân tại ,OK vuông góc với PM

ð K là trung điểm MN =>ME/MN=1/2

ð Xét tam giác MPN có

ð MK/PM = ME/MN=1/2

ð KE//PN

Answer 8

a) Xét (O) có PM // AB

⇒ 2 cung AP và BM bị chắn bởi 2 dây trên sẽ bằng nhau. 

mà BM = BN ( △ BMN cân tại B vì có BE vừa là đ/c, đường trung tuyến △)

⇒ cung BM = cung BN

⇒ cung AP = cung BN

b) Xét (O) có OI đi qua điểm chính giữa của PM (gt)

⇒ OI vuông góc với dây PM tại K

⇒góc OKM = 90 độ.

Xét tứ giác OKME có 3 góc vuông : góc OKM = 90 độ (cmt),

góc MEO = 90 độ ( MN vuông góc với OB tại E

 góc EMK = 90 độ ( vì PM//AB, AB vuông góc với MN ⇒ PM vuông góc với MN tại M )

⇒ OKME là hcn

c) Ta có : góc OPI = góc NOE  ( vì 2 góc đông vị, MP//AB)

mà góc OPI + góc POI = 90 độ ( △POK vuông tại K )

⇒góc NOE + góc POI = 90 độ

⇒ góc NOE + góc POI + góc IOE = 90 + 90 = 180 độ

⇒ P,O,N thẳng hàng

- Xét △ PMN có KE đường TB ( K trung điểm PM, E trung điểm MN )

⇒ KE//PN

Answer 9

 

 

Answer 10

  

Answer 11

a)

 

Answer 12

Answer 13

Answer 14

a.Xét tam giác POM có:cung PI=cung PM

=>OI là phân giác góc POM

Ta có:góc POA+góc POM+góc MOB=180 độ 

Mà góc POA+góc PIO=góc IOM+góc MOB

mà góc PIO=góc IOM 

=>góc POA=góc MOB                         (1)

vì OB là đường kính đi qua trung điểm E của MN

=>OB là phân giác góc MON

=>góc MOB=BON                                (2)

Từ (1),(2) ta suy ra:góc POA=góc NOB

Mà 2 góc đều xuất phát từ tâm (O) của đường tròn

=>AP=BN

b.Vì góc POA=góc NOB

Mà A,O,B thẳng hàng => P,O,N thẳng hàng

=>PN là đường kính đường tròn (O)

xét tam giác PMN có PN là đường kính 

=>tam giác PMN vuông tại M=>IME=90 độ

xét tứ giác IMEO có:góc IOE=góc OEM=góc IME=90 độ

=>IMEO là hình chữ nhật

c.Đã chứng minh ở câu b P,O,N thẳng hàng

Vì KMEO là hcn=>góc IOM=góc KEM

Ta có:góc IOM=cung IM=1/2 cung PM(vì I là điểm chính giữa cung PM) (3)

góc POM=1/2 cung PM                      (4)

Từ (3),(4) ta suy ra:góc IOM=POM

Mà góc KOM=góc KEM

=>góc KEM=góc PNM

=>KE//PN

Answer 15

a) Xét (O) có PM // AB

⇒ 2 cung AP và BM bị chắn bởi 2 dây trên sẽ bằng nhau. 

mà BM = BN ( △ BMN cân tại B vì có BE vừa là đ/c, đường trung tuyến △)

⇒ cung BM = cung BN

⇒ cung AP = cung BN

b) Xét (O) có OI đi qua điểm chính giữa của PM (gt)

⇒ OI vuông góc với dây PM tại K

⇒góc OKM = 90 độ.

Xét tứ giác OKME có 3 góc vuông : góc OKM = 90 độ (cmt),

góc MEO = 90 độ ( MN vuông góc với OB tại E

 góc EMK = 90 độ ( vì PM//AB, AB vuông góc với MN ⇒ PM vuông góc với MN tại M )

⇒ OKME là hcn

c) Ta có : góc OPI = góc NOE  ( vì 2 góc đông vị, MP//AB)

mà góc OPI + góc POI = 90 độ ( △POK vuông tại K )

⇒góc NOE + góc POI = 90 độ

⇒ góc NOE + góc POI + góc IOE = 90 + 90 = 180 độ

⇒ P,O,N thẳng hàng

- Xét △ PMN có KE đường TB ( K trđ PM, E trđ MN )

⇒ KE//PN

 

Answer 16

  

Answer 17

Answer 18

 

 

 

Answer 19

a) Xét (O) có PM // AB

⇒ 2 cung AP và BM bị chắn bởi 2 dây trên sẽ bằng nhau. 

mà BM = BN ( △ BMN cân tại B vì có BE vừa là đ/c, đường trung tuyến △)

⇒ cung BM = cung BN

⇒ cung AP = cung BN

b) Xét (O) có OI đi qua điểm chính giữa của PM (gt)

⇒ OI vuông góc với dây PM tại K

⇒góc OKM = 90 độ.

Xét tứ giác OKME có 3 góc vuông : góc OKM = 90 độ (cmt),

góc MEO = 90 độ ( MN vuông góc với OB tại E

 góc EMK = 90 độ ( vì PM//AB, AB vuông góc với MN ⇒ PM vuông góc với MN tại M )

⇒ OKME là hcn

c) Ta có : góc OPI = góc NOE  ( vì 2 góc đông vị, MP//AB)

mà góc OPI + góc POI = 90 độ ( △POK vuông tại K )

⇒góc NOE + góc POI = 90 độ

⇒ góc NOE + góc POI + góc IOE = 90 + 90 = 180 độ

⇒ P,O,N thẳng hàng

- Xét △ PMN có KE đường TB ( K trđ PM, E trđ MN )

⇒ KE//PN

Answer 20

a)Có I nằm chính giữa cung MP

⇒ OI⊥PM , cung PI= cung IM

mà PM//AB ⇒AB⊥IO

⇒ I nằm chính giữa cung AB

⇒IA=IB, mà cung PI= cung IM

⇒AP=MB

b) Xét tứ giác OKME có:

OE ⊥ ME

ME⊥PM

MK⊥KO

⇒ Tứ hiacs OKME à hcn

Answer 21

a) Xét (O) có PM // AB

⇒ 2 cung AP và BM bị chắn bởi 2 dây trên sẽ bằng nhau. 

mà BM = BN ( △ BMN cân tại B vì có BE vừa là đ/c, đường trung tuyến △)

⇒ cung BM = cung BN

⇒ cung AP = cung BN

b) Xét (O) có OI đi qua điểm chính giữa của PM (gt)

⇒ OI vuông góc với dây PM tại K

⇒góc OKM = 90 độ.

Xét tứ giác OKME có 3 góc vuông : góc OKM = 90 độ (cmt),

góc MEO = 90 độ ( MN vuông góc với OB tại E

 góc EMK = 90 độ ( vì PM//AB, AB vuông góc với MN ⇒ PM vuông góc với MN tại M )

⇒ OKME là hcn

c) Ta có : góc OPI = góc NOE  ( vì 2 góc đông vị, MP//AB)

mà góc OPI + góc POI = 90 độ ( △POK vuông tại K )

⇒góc NOE + góc POI = 90 độ

⇒ góc NOE + góc POI + góc IOE = 90 + 90 = 180 độ

⇒ P,O,N thẳng hàng

- Xét △ PMN có KE đường TB ( K trđ PM, E trđ MN )

⇒ KE//PN

Answer 22

a) Xét (O) có PM // AB

⇒ 2 cung AP và BM bị chắn bởi 2 dây trên sẽ bằng nhau. 

mà BM = BN ( △ BMN cân tại B vì có BE vừa là đ/c, đường trung tuyến △)

⇒ cung BM = cung BN

⇒ cung AP = cung BN

b) Xét (O) có OI đi qua điểm chính giữa của PM (gt)

⇒ OI vuông góc với dây PM tại K

⇒góc OKM = 90 độ.

Xét tứ giác OKME có 3 góc vuông : góc OKM = 90 độ (cmt),

góc MEO = 90 độ ( MN vuông góc với OB tại E

 góc EMK = 90 độ ( vì PM//AB, AB vuông góc với MN ⇒ PM vuông góc với MN tại M )

⇒ OKME là hcn

c) Ta có : góc OPI = góc NOE  ( vì 2 góc đông vị, MP//AB)

mà góc OPI + góc POI = 90 độ ( △POK vuông tại K )

⇒góc NOE + góc POI = 90 độ

⇒ góc NOE + góc POI + góc IOE = 90 + 90 = 180 độ

⇒ P,O,N thẳng hàng

- Xét △ PMN có KE đường TB ( K trđ PM, E trđ MN )

⇒ KE//PN

 

Answer 23

a) Xét (O) có PM // AB

⇒ 2 cung AP và BM bị chắn bởi 2 dây trên sẽ bằng nhau.

mà BM = BN ( △ BMN cân tại B vì có BE vừa là đ/c, đường trung tuyến △)

⇒ cung BM = cung BN

⇒ cung AP = cung BN

b) Xét (O) có OI đi qua điểm chính giữa của PM (gt)

⇒ OI vuông góc với dây PM tại K

⇒góc OKM = 90 độ.

Xét tứ giác OKME có 3 góc vuông : góc OKM = 90 độ (cmt),

góc MEO = 90 độ ( MN vuông góc với OB tại E

 góc EMK = 90 độ ( vì PM//AB, AB vuông góc với MN ⇒ PM vuông góc với MN tại M )

⇒ OKME là hcn

c) Ta có : góc OPI = góc NOE  ( vì 2 góc đông vị, MP//AB)

mà góc OPI + góc POI = 90 độ ( △POK vuông tại K )

⇒góc NOE + góc POI = 90 độ

⇒ góc NOE + góc POI + góc IOE = 90 + 90 = 180 độ

⇒ P,O,N thẳng hàng

- Xét △ PMN có KE đường TB ( K trđ PM, E trđ MN )

⇒ KE//PN

Answer 24

a) Xét (O) có PM // AB

⇒ 2 cung AP và BM bị chắn bởi 2 dây trên sẽ bằng nhau. 

mà BM = BN ( △ BMN cân tại B vì có BE vừa là đường cao, đường trung tuyến △)

⇒ cung BM = cung BN

⇒ cung AP = cung BN

b) Xét (O) có OI đi qua điểm chính giữa của PM (gt)

⇒ OI vuông góc với dây PM tại K

⇒góc OKM = 90 độ.

Xét tứ giác OKME có 3 góc vuông : góc OKM = 90 độ (cmt),

góc MEO = 90 độ ( MN vuông góc với OB tại E

 góc EMK = 90 độ ( vì PM//AB, AB vuông góc với MN ⇒ PM vuông góc với MN tại M )

⇒ OKME là hcn

c) Ta có : góc OPI = góc NOE  ( vì 2 góc đông vị, MP//AB)

mà góc OPI + góc POI = 90 độ ( △POK vuông tại K )

⇒góc NOE + góc POI = 90 độ

⇒ góc NOE + góc POI + góc IOE = 90 + 90 = 180 độ

⇒ P,O,N thẳng hàng

- Xét △ PMN có KE là đường TB ( K trung điểm PM, E trung điểm MN )

⇒ KE//PN

Answer 25

a) Xét (O) có PM // AB

⇒ 2 cung AP và BM bị chăn bởi 2 dây trên sẽ băng nhau. 

mà BM = BN (△BMN cân tại B vì có BE vừa là đ/c, đường trung tuyên △)

⇒ cung BM = cung BN

⇒ cung AP = cung BN

b) Xét (O) có OI đi qua điểm chính giữa của PM (gt)

⇒ OI vuông góc với dây PM tại K

⇒góc OKM = 90^o

Xét tứ giác OKME có 3 góc vuông : góc OKM = 90 độ (cmt),

góc MEO = 90^o ( MN vuông góc với OB tại E

 góc EMK = 90⁰ ( vì PM//AB, AB vuông góc với MN ⇒ PM vuông góc với MN tại M )

⇒ OKME là hcn

c) Ta có : góc OPI = góc NOE  ( vì 2 góc đông vị, MP//AB)

mà góc OPI + góc POI = 90 độ ( △POK vuông tại K )

⇒góc NOE + góc POI = 90⁰

⇒ góc NOE + góc POI + góc IOE = 90⁰ + 90⁰ = 180⁰

⇒ P,O,N thẳng hàng

- Xét △ PMN có KE đường TB (K trung điểm PM, E trung điểm MN )

⇒ KE//PN

Answer 26

a) Xét (O) có PM // AB

⇒ 2 cung AP và BM bị chắn bởi 2 dây trên sẽ bằng nhau. 

mà BM = BN ( △ BMN cân tại B vì có BE vừa là đ/c, đường trung tuyến △)

⇒ cung BM = cung BN

⇒ cung AP = cung BN

b) Xét (O) có OI đi qua điểm chính giữa của PM (gt)

⇒ OI vuông góc với dây PM tại K

⇒góc OKM = 90 độ.

Xét tứ giác OKME có 3 góc vuông : góc OKM = 90 độ (cmt),

góc MEO = 90 độ ( MN vuông góc với OB tại E

 góc EMK = 90 độ ( vì PM//AB, AB vuông góc với MN ⇒ PM vuông góc với MN tại M )

⇒ OKME là hcn

c) Ta có : góc OPI = góc NOE  ( vì 2 góc đông vị, MP//AB)

mà góc OPI + góc POI = 90 độ ( △POK vuông tại K )

⇒góc NOE + góc POI = 90 độ

⇒ góc NOE + góc POI + góc IOE = 90 + 90 = 180 độ

⇒ P,O,N thẳng hàng

- Xét △ PMN có KE đường TB ( K trđ PM, E trđ MN )

⇒ KE//PN