a)
Gọi H là giao điểm của OC và AB, \(\Delta AOB\)cân tại O ( OA = OB, bán kính ) . OH là đường cao nên cũng là đường phân giác. Do đó
\(\widehat{AOC}=\widehat{BOC}\)
Vì AC là tiếp tuyến tại A của đường tròn (O) nên \(\widehat{OAC}=90^o\)
Xét 2 tam giác : OAC và OBC có :
\(OA=OB\left(=R\right)\)
\(\widehat{AOC}=\widehat{BOC}\left(cmt\right)\)
OC chung
\(\Rightarrow\Delta OAC=\Delta OBC\left(c-g-c\right)\)
\(\Rightarrow\widehat{OAC}=\widehat{OBC}=\left(90^o\right)\)( hai góc tương ứng )
Suy ra: CB vuông góc với OB, mà OB là bán kính của đường tròn (O)
=> CB là tiếp tuến của đường tròn (O) tại B. (điều phải chứng minh)
b) Ta có: OH vuông góc AB nên H là trung điểm của AB ( quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây )
\(\Rightarrow HA=HB=\frac{AB}{2}=12\)
Xét tam giác HOA vuông tại H , áp dụng định lí Py - ta - go , ta có :
\(OA^2=OH^2+HA^2\)
\(\Leftrightarrow15^2=OH^2+12^2\)
\(\Leftrightarrow OH^2=15^2-12^2=81\)
\(\Rightarrow OH=9\left(cm\right)\)
Xét tam giác vuông OAC có đường cao AH , áp dụng hệ thức và đường cao trong tam giác vuông , ta có :
\(OA^2=OH.OC\Rightarrow OC=\frac{OA^2}{OH}=\frac{15^2}{9}=25\left(cm\right)\)
Vậy : OC = 25 cm
