Question

Cho đường tròn (O) có dây AB khác đường kính. Điểm C bất kì trên AB và D bất kì trên cung nhỏ AB. Tia OC cắt đường tròn (OAB) tại F khác O. Đoạn OD cắt AB tại E. Đường thẳng FE cắt (OAB) tại G khác F. Tia GD cắt lại (OAB) ở Q. Chứng minh OQ chia đôi CD ?

Answer 1

Gọi R đối xứng với D qua O. Khi đó DR là đường kính của (O) hay O là trung điểm RD.

Ta có: ^OBC = ^BFO (2 góc nội tiếp chắn (OA=(OB ) nên \(\Delta\)OCB ~ \(\Delta\)OBF (g,g)

Suy ra: OB² = OC.OF hay OR² = OC.OF. Từ đó: \(\Delta\)OCR ~ \(\Delta\)ORF (c.g.c) => ^ORC = ^OFR

Áp dụng hệ thức lượng đường tròn có: EG.EF = EA.EB = ED.ER nên tứ giác GDFR nội tiếp

Suy ra: ^OFR = ^GFR - ^GFO = ^GDR - ^GQO = ^DOQ. Từ đấy: ^ORC = ^DOQ

Do đó: CR // OQ. Xét trong \(\Delta\)DRC thấy: O trung điểm RD và OQ // CR cho nên OQ đi qua trung điểm CD (đpcm).