Question

Cho đường tròn (0),đường kính MN và dây cung PQ vuông góc với MN tại I(khác M,N).trên cung nhỏ NP lấy điểm J(khác N,P).Nối M với J cắt PQ tại H.

a,cm/MJ là phân giác của PJQ

b,cm/HINJ nội tiếp 

c,gọi gđ của PN với MJ là G,JQ với MN là K.cm/GK//PQ

(HỘ MK VỚI! THANKS FOR)

Answer 1

a) Ta thấy đường trong (O) có dây cung PQ vuông góc với đường kính MN

=> M là điểm chính giữa của cung PQ => MP=MQ => \(\Delta\)PMQ cân tại M => ^MPQ=^MQP.

Tứ giác PMQJ nội tiếp (O) => ^MJQ=^MPQ; ^MJP=^MQP. Mà ^MPQ=^MQP (cmt)

=> ^MJQ=^MJP => MJ là phân giác ^PJQ (đpcm).

b) Đường tròn (O) có MN là đường kính: J thuộc cung MN => ^MJN=90⁰ hay ^HJN=90⁰

Xét tứ giác HINJ: ^HJN=^HIN=90⁰ => Tứ giác HINJ nội tiếp đường tròn (đpcm).

c) Tứ giác MJNQ nội tiếp đường tròn (O) => ^MJQ=^MNQ.

Dễ thấy ^MNQ=^MNP => ^MJQ=^MNP hay ^GJK=^KNG.

Xét tứ giác GKNJ: ^GJK=^KNG (cmt) => Tứ giác GKNJ nội tiếp đường tròn.

=> ^GKJ=^GNJ hay ^GKJ=^PNJ.

Mà tứ giác PJNQ nội tiếp (O) => ^PNJ=^PQJ nên ^GKJ=^PQJ.

Lại thấy: 2 góc ^GKJ nà ^PQJ nằm ở vị trí đồng vị => GK//PQ (đpcm).