Question

Cho đường thẳng d x - 2y - 2 = 0 và 2 điểm A (0;1) và B (3;4). Tìm tọa độ điểm trên d sao cho độ dài của (vectơMA + 2 vectơ MB) là nhỏ nhất.

Answer 1

Do M thuộc d nên tọa độ có dạng: \(\left(2m+2;m\right)\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\overrightarrow{MA}=\left(-2m-2;1-m\right)\\\overrightarrow{MB}=\left(1-2m;4-m\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}=\left(-6m;9-3m\right)\)

\(\Rightarrow T=\left|\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}\right|=\sqrt{36m^2+\left(9-3m\right)^2}=\sqrt{45m^2-54m+81}\)

\(=\sqrt{25\left(m-\dfrac{3}{5}\right)^2+\dfrac{324}{5}}\ge\sqrt{\dfrac{324}{5}}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(m=\dfrac{3}{5}\Rightarrow M\left(\dfrac{16}{5};\dfrac{3}{5}\right)\)