a) Xét đường tròn (O) có các tiếp tuyến tại A và B của đường tròn cắt nhau tại M
\(\Rightarrow MA=MB\)(tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
\(\Rightarrow\)M nằm trên đường trung trực của đoạn AB.
Dễ thấy \(OA=OB\left(=R\right)\)(với R là bán kính của đường tròn (O))
\(\Rightarrow\)O nằm trên đường trung trực của đoạn AB.
Mà M cũng nằm trên đường trung trực của đoạn AB nên MO là trung trực của đoạn AB (đpcm)
b) Vì MO là trung trực của đoạn AB (theo câu a) \(\Rightarrow MO\perp AB\)
Xét đường tròn (O), ta có \(A\in\left(O\right)\)và AO cắt (O) tại C (gt) \(\Rightarrow\)AC là đường kính của (O).
Mặt khác \(B\in\left(O\right)\) \(\left(B\ne A;B\ne C\right)\)nên \(\widehat{ABC}=90^0\)(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
\(\Rightarrow BC\perp AB\)
Mà \(MO\perp AB\left(cmt\right)\)
\(\Rightarrow BC//MO\left(\perp AB\right)\)
\(\Rightarrow\)Tứ giác BMOC là hình thang (theo định nghĩa)
c) Gọi H là giao điểm của MO và AB. Vì MO là trung trực của đoạn AB nên H là trung điểm của AB \(\Rightarrow AH=BH=\frac{AB}{2}=\frac{8}{2}=4\left(cm\right)\)
Hơn nữa \(MO\perp AB\left(cmt\right)\Rightarrow AH\perp MO\)tại H\(\Rightarrow\)AH là đường cao của \(\Delta AMO\)
Mặt khác MA là tiếp tuyến của (O) \(\Rightarrow MA\perp OA\)tại A (tính chất tiếp tuyến đường tròn) \(\Rightarrow\Delta AMO\)vuông tại A
\(\Delta AMO\)vuông tại A có đường cao AH \(\Rightarrow\frac{1}{AH^2}=\frac{1}{OA^2}+\frac{1}{AM^2}\left(htl\right)\Rightarrow\frac{1}{AM^2}=\frac{1}{AH^2}-\frac{1}{OA^2}=\frac{1}{4^2}-\frac{1}{5^2}=\frac{25-16}{16.25}=\frac{9}{400}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{AM^2}=\frac{9}{400}\Rightarrow\frac{1}{AM}=\frac{3}{20}\Rightarrow AM=\frac{20}{3}\left(cm\right)\)
Vì AM = BM (cmt) \(\Rightarrow BM=\frac{20}{3}cm\)
Chu vi \(\Delta MAB\)là: \(AB+MA+MB=8+\frac{20}{3}+\frac{20}{3}=8+\frac{40}{3}=\frac{24+40}{3}=\frac{64}{3}\left(cm\right)\)
Vậy chu vi tam giác MAB là 64/3 cm.
