Question

CHo đ/tr O bán kính R .Tử M nằm ngoài đ/tr kẻ 2 tiếp tuyến MA,MB .Qua A kẻ đường thẳng // MO cắt (O) tại E ,đường thẳng ME cắt (O) tại F (F khác E ) ,đường thẳng AF cắt MO tại N .Gọi H là Giao điểm của MO và AB .CMr : \(\frac{HB^2}{HF^2}-\frac{EF}{MF}=1\)

Answer 1

Ta có: AE // MO => ^AEM=^OME (So le trong) hay ^AEF=^HMF

Mà ^AEF=^FBH (=^FBA) (Cung chắn cung AF) => ^HMF=^FBH

=> Tứ giác MFHB nội tiếp đường tròn.

=> ^BFH=^BMH. Mà ^BMH=^ABO (Cùng phụ với ^MBH) => ^BFH=^ABO.

Dễ thấy MO vuông góc AB tại H, do AE//MO => AE vuông góc AB (Q/h song song, vg góc)

Ta thấy 3 điểm B;A;E cùng nằm trên (O) và ^BAE=90⁰ => 3 điểm B;O;E thẳng hàng

=> ^ABO=^ABE. Do đó ^BFH=^ABE.

Lại có: ^ABE=^AFE (Cùng chắn cung AE) và ^AFE=^MFN (Đối đỉnh) => ^BFH=^MFN. 

Xét \(\Delta\)FHB và \(\Delta\)FNM: ^BFH=^MFN; ^FBH=^FMN

=> \(\Delta\)FHB ~ \(\Delta\)FNM (g.g) => \(\frac{BH}{MN}=\frac{FH}{FN}\)(1)

^MFN + ^NFB = 90⁰ => ^BFH + ^NFB = 90⁰ => ^NFH = 90⁰ 

=> \(\Delta\)NFH ~ \(\Delta\)HFA (g.g) => \(\frac{AH}{NH}=\frac{HF}{FN}\)(2)

Từ (1) và (2) => \(\frac{BH}{MN}=\frac{AH}{NH}\). Mà AH=BH => MN=NH, thay vào hệ thức:

\(\frac{HB}{MN}=\frac{HF}{NF}\Leftrightarrow\frac{HB}{HF}=\frac{MN}{NF}\)(Do \(\Delta\)BHF ~ \(\Delta\)MNF)

=> \(\frac{HB}{HF}=\frac{NH}{NF}\Leftrightarrow\frac{HB^2}{HF^2}=\frac{NH^2}{NF^2}\)

Áp dụng hệ quả ĐL Thales: \(\frac{EF}{MF}=\frac{AF}{NF}\)

\(\Rightarrow\frac{HB^2}{HF^2}-\frac{EF}{MF}=\frac{NH^2}{NF^2}-\frac{AF}{NF}=\frac{NH^2-AF.NF}{NF^2}\)

Dễ có: \(\Delta\)NFH ~ \(\Delta\)NHA => \(\frac{NF}{NH}=\frac{NH}{NA}\Rightarrow NH^2=NF.NA\)

\(\Rightarrow NH^2-AF.NF=NF.NA-AF.NF=NF.\left(NA-AF\right)=NF.NF=NF^2\)

\(\Rightarrow\frac{NH^2-AF.NF}{NF^2}=\frac{NF^2}{NF^2}=1\Rightarrow\)\(\frac{HB^2}{HF^2}-\frac{EF}{MF}=1.\)(đpcm).

Answer 2

Thank

Answer 3

\(\widehat{MAO}+\widehat{MBO}=90^o+90^o=180^o\) mà 2 góc đối nhau nên tứ giác MAOB nội tiếp

cmđ: \(\hept{\begin{cases}\Delta MNF~\Delta ANM\left(gg\right)\Rightarrow MN^2=NF\cdot NA\\\Delta NFH~\Delta AFH\left(gg\right)\Rightarrow NH^2=NF\cdot NA\end{cases}}\)

vậy \(MN^2=HN^2\Rightarrow MN=NH\)

Có MA=MB (tc 2 đường tiếp tuyến cắt nhau) và AO=OB=R

=> MO là đường trung trực của AB

=> AH _|_ MO và HA=HB

\(\Delta\)MAF và \(\Delta\)MEA có: \(\hept{\begin{cases}\widehat{AME}chung\\\widehat{MAF}=\widehat{AEF}\end{cases}\Rightarrow\Delta MAF~\Delta MEA\left(g.g\right)}\)

\(\Rightarrow\frac{MA}{ME}=\frac{MF}{MA}\Rightarrow MA^2=ME\cdot MF\)

Áp dụng hệ lượng thức vào \(\Delta\)vuông MAO có: \(MA^2=MH\cdot MO\)

Do đó: \(ME\cdot MF=MO\cdot MH\Rightarrow\frac{ME}{MH}=\frac{MO}{MF}\)

=> \(\Delta MFH~\Delta MOE\left(cgc\right)\)

=> \(\widehat{MHF}=\widehat{MEO}\)

Vì \(\widehat{BAE}\)là góc nội tiếp (O) nên E;O;B thẳng hàng 

=> \(\widehat{FEB}=\widehat{FAB}\left(=\frac{1}{2}sđ\widebat{EB}\right)\)=> \(\widehat{MHF}=\widehat{FAB}\)

=> \(\widehat{ANH}+\widehat{NHF}=\widehat{ANH}+\widehat{FAB}=90^o\)

=> HF _|_ NA

Áp dụng hệ lượng vào tam giác NHA có: NH²=NF.NA

=> NM²=NH² => NM=NH

Áp dụng hệ lượng thức vào tam giác vuông NHA có: HA²=FA.NA và HF²=FA.FN

=> \(\frac{HB^2}{HF^2}=\frac{HA^2}{HF^2}=\frac{FA\cdot NA}{FA\cdot FN}=\frac{NA}{FN}\)

=> HB²=AF.AN (vì HA=HB)

Vì AE//MN nên \(\frac{EF}{MF}=\frac{FA}{NF}\)(hệ quả định lý Talet)

=> \(\frac{HB^2}{HF^2}-\frac{EF}{MF}=\frac{NA}{NF}-\frac{FA}{NF}=\frac{NF}{NF}=1\)