Cho đoạn thẳng AB có độ dài bằng 1. Trên tia Ax vuông góc với AB tại A, lấy n điểm bất kì \(\left(n\ge2\right)\). Gọi các điểm đó lần lượt là \(M_1,M_2,M_3,...,M_n\). Biết rằng \(AM_1+AM_2+AM_3+...+AM_n=n\). Chứng minh rằng \(\frac{1}{BM_1^2}+\frac{1}{BM_2^2}+\frac{1}{BM_3^2}+...+\frac{1}{BM_n^2}\ge\frac{n}{2}\)(đề hoàn chỉnh nhé)
khó thế ai làm nổi
Áp dụng định lý Pitago:
\(BM_i^2=AB^2+AM_i^2=1+AM_i^2\)
Đặt vế trái BĐT cần chứng minh là P, ta có:
\(P=\sum\dfrac{1}{1+AM_1^2}=\sum\left(1-\dfrac{AM_1^2}{1+AM_1^2}\right)\ge\sum\left(1-\dfrac{AM_1^2}{2AM_1}\right)=\sum\left(1-\dfrac{1}{2}AM_1\right)\)
\(\Rightarrow P\ge n-\dfrac{1}{2}\left(AM_1+AM_2+...+AM_n\right)=n-\dfrac{1}{2}n=\dfrac{n}{2}\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(AM_1=AM_2=...=AM_n=1\)
