Question

Cho điểm D nằm trong tam giác đều ABC. Kẻ DM,DN,DP lần lượt vuông góc với AB,AC,BC. Chứng minh rằng khi điểm D di chuyển vị trí thì DM + DN + DP không đổi.

Answer 1

Nối D với các đỉnh A;B;C của tam giác đều.Dễ thấy: \(S_{ABC}=S_{ABD}+S_{ACD}+S_{BCD}=\frac{1}{2}DM\cdot AB+\frac{1}{2}DN\cdot AC+\frac{1}{2}DP\cdot BC=\frac{1}{2}a\left(DM+DN+DP\right).\)trong đó a là cạnh của tam giác đều ABC.Diện tích và Cạnh tam giác ABC không thay đổi khi di chuyển điểm D nên: DM+DN+DP là không đổi.

Answer 2

Gọi a là cạnh của tam giác đều ABC, \(S\)là diện tích của tam giác đều ABC , \(x\)là diện tích tam giác ADB , \(y\)là diện tích tam giác ADC , \(z\)là diện tích tam giác BDC (x,y,z > 0)

Ta có : \(x+y+z=S\)

Mặt khác : \(x=\frac{a.DM}{2}\Rightarrow DM=\frac{2x}{a}\) ; tương tự : \(DN=\frac{2y}{a}\); \(DP=\frac{2z}{a}\)

\(\Rightarrow DM+DN+DP=\frac{2x}{a}+\frac{2y}{a}+\frac{2z}{a}=\frac{2}{a}\left(x+y+z\right)=\frac{2S}{a}\)(không đổi)

Vậy khi D di chuyển thì DM + DN + DP không đổi (đpcm)

Answer 3

Ta có : $x=a^2-bc\Rightarrow ax=a^3-abc$x=a2−bc⇒ax=a3−abc; $y=b^2-ac\Rightarrow by=b^3-abc$y=b2−ac⇒by=b3−abc; $z=c^2-ab\Rightarrow cz=c^3-abc$z=c2−ab⇒cz=c3−abc

$\Rightarrow ax+by+cz=a^3+b^3+c^3-3abc$⇒ax+by+cz=a3+b3+c3−3abc

Ta có : $a^3+b^3+c^3-3abc=\left(a+b\right)^3+c^3-3ab\left(a+b\right)-3abc$a3+b3+c3−3abc=(a+b)3+c3−3ab(a+b)−3abc

$=\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2+2ab-ac-bc\right)-3ab\left(a+b+c\right)$=(a+b+c)(a2+b2+c2+2ab−ac−bc)−3ab(a+b+c)

$=\left(a+b+c\right)\left(a^2-bc+b^2-ac+c^2-ab\right)=\left(a+b+c\right)\left(x+y+z\right)$=(a+b+c)(a2−bc+b2−ac+c2−ab)=(a+b+c)(x+y+z)

Vậy : $\left(x+y+z\right)\left(a+b+c\right)=ax+by+cz$(x+y+z)(a+b+c)=ax+by+cz(đpcm)

Bạn lưu ý đề bài ở chỗ $y^2=b^2-ac$y2=b2−acbạn ghi sai nhé, phải là $y=b^2-ac$y=b2−ac

Bạn nhớ ghi thêm điều kiện x,y,z khác 0 nữa nhé :))

 

Answer 4

Gọi a là cạnh của tam giác đều ABC, Slà diện tích của tam giác đều ABC , xlà diện tích tam giác ADB , ylà diện tích tam giác ADC , zlà diện tích tam giác BDC ﴾x,y,z > 0﴿ Ta có : x + y + z = S Mặt khác : x = 2 a.DM ⇒DM = a 2x ; tương tự : DN = a 2y ; DP = a 2z ⇒DM + DN + DP = a 2x + a 2y + a 2z = a 2 x + y + z = a 2S ﴾không đổi﴿ Vậy khi D di chuyển thì DM + DN + DP không đổi ﴾đpcm﴿

Answer 5

Nối DA,DB,DC thì S_ABD = \(\frac{AB.DM}{2}\); S_ACD = \(\frac{AC.DN}{2}\); S_BCD = \(\frac{BC.DP}{2}\)

=> S_ABC = S_ABD + S_ACD + S_BCD = \(\frac{AB.DM}{2}+\frac{AC.DN}{2}+\frac{BC.DP}{2}\)

= \(\frac{AB.\left(DM+DN+DP\right)}{2}\)(vì ABC là tam giác đều nên AB = AC = BC)

Trong công thức S_ABC = \(\frac{AB.\left(DM+DN+DP\right)}{2}\), S_ABC và AB có số đo không đổi nên DM + DN + DP cũng không đổi (đpcm)