Để chứng minh $MH^2 = MC \cdot MF$, ta sử dụng định lí Euclid 1: "Trên một đoạn thẳng AB, lấy một điểm C bất kỳ. Vẽ đường cao CD từ C xuống AB. Kẻ các đường tròn đường kính AC và BD. Đường tròn (ACD) cắt đường tròn (BCD) tại E (khác C). Kẻ DE cắt AB tại F. Kẻ đường thẳng qua F và vuông góc với AB cắt đường tròn (ACD) tại G (khác A). Kẻ đường thẳng qua G và song song với AB cắt đường tròn (BCD) tại H (khác O). Kẻ đường thẳng qua F và vuông góc với AB cắt CH tại K. Kẻ đường thẳng qua K và vuông góc với BC cắt MD tại N. Kẻ đường thẳng qua N và song song với AB cắt HF tại P. Chứng minh rằng $HP = HF$."
Áp dụng định lí Euclid 1 cho tam giác $ABC$ và điểm $H$, ta có:
$MF$ là đường cao của tam giác $AHB$ nên $MF^2 = AF \cdot FB$.$MC$ là đường trung bình của tam giác $ABC$ nên $MC^2 = AC \cdot CB$.$MH$ là đường cao của tam giác $AHC$ nên $MH^2 = AH \cdot HC$.
Ta cần chứng minh $MH^2 = MC \cdot MF$, tức là $AH \cdot HC = AC \cdot CB \cdot AF \cdot FB$.
Áp dụng định lí Euclid 1 cho tam giác $ABC$ và điểm $F$, ta có:
$KE$ là đường cao của tam giác $AFB$ nên $KE^2 = AF \cdot FB$.$CM$ là đường trung bình của tam giác $ABC$ nên $CM^2 = AC \cdot CB$.$MF$ là đường cao của tam giác $AHB$ nên $MF^2 = AH \cdot HB$.
Áp dụng định lí Euclid 1 cho tam giác $HBC$ và điểm $K$, ta có:
$KN$ là đường cao của tam giác $HBC$ nên $KN^2 = HC \cdot CB$.$MF$ là đường trung bình của tam giác $HBC$ nên $MF^2 = HB \cdot BC$.$MH$ là đường cao của tam giác $HBC$ nên $MH^2
= AH \cdot HB < AH \cdot HC = MH^2$.
Áp dụng định lí Euclid 1 cho tam giác $HBC$ và điểm $F$, ta có: $KE$ là đường cao của tam giác $AFB$ nên $KE^2 = AF \cdot FB$. $MF$ là đường trung bình của tam giác $HBC$ nên $MF^2 = HB \cdot BC$. Vì $AB > AC$, nên ta có $HB > HC$ và $BC > AC$. Từ đó suy ra $MF^2 > AF \cdot FB$, hay $MF^2 > MF^2 - AF \cdot FB$, tương đương với $AF \cdot FB > MF^2 - AF \cdot FB = FM \cdot FA$.
Áp dụng định lí Euclid 1 cho tam giác $ABC$ và điểm $H$, ta có: $MF^2 = AF \cdot FB$. $MC$ là đường trung bình của tam giác $ABC$ nên $MC^2 = AC \cdot CB$. Từ $AF \cdot FB > FM \cdot FA$, suy ra $AF + FB > FM$. Kết hợp với $AB = AF + FB$ và $AC < CB$, ta có $AB > FM + AC > FM$. Do đó, $AB > FM > MC$.
Từ $AB > FM$ và $AB > MC$, suy ra $M$ nằm giữa $F$ và $K$. Áp dụng định lí Euclid 1 cho tam giác $ABC$ và điểm $K$, ta có: $KN$ là đường cao của tam giác $HBC$ nên $KN^2 = HC \cdot CB$. $MF$ là đường trung bình của tam giác $HBC$ nên $MF^2 = HB \cdot BC$. Từ $HB > HC$ và $BC > AC$, suy ra $HB \cdot BC > HC \cdot AC$, hay $HB \cdot BC > KN^2$.
Áp dụng định lí Euclid 1 cho tam giác $AFB$ và điểm $P$, ta có: $HF$ là đường cao của tam giác $AFP$ nên $HF^2 = AF \cdot FP$. $KE$ là đường trung bình của tam giác $AFB$ nên $KE^2 = AF \cdot FB$. Từ $AF \cdot FB > FM \cdot FA$, suy ra $AF + FB > FM$. Kết hợp với $AB = AF + FB$, ta có $AB > FM$. Do đó, $AB > HF$.
Từ $AB > FM$ và $AB > HF$, suy ra $H$ nằm giữa $F$ và $K$. Áp dụng định lí Euclid 1 cho
