Cho điểm A nằm ngoài (O).Qua A kẻ các tiếp tuyến của AM và AN với (O).Lấy điểm B thuộc cung nhỏ MN, tiếp tuyên tại B cắt AM tại E, cắt AN tại F ; OE và OF cắt MN lần luotjw tại H và K.CMR
a.\(\widehat{MON}\)=2\(\widehat{FOE}\)
b.Tứ giác EHKF nội tiếp
c.HK//EF không đổi khi điểm B thay đổi trên cung nhỏ MN
câu a có EM ,EM là hai tiếp tuyến của (o)
suy ra +)EM=EB
+) OE là tia phân giác của \(\widehat{BOM}\)
Có OE là phân giác của \(\widehat{BOM}\)nên suy ra \(\widehat{BOE}\)=\(\frac{1}{2}\widehat{MOB}\)
Chứng minh tương tự ta có \(\widehat{BOF}=\frac{1}{2}\widehat{BON}\)
từ đó suy ra \(\widehat{BOE}+\widehat{BOF}=\frac{1}{2}\left(\widehat{BOM}+\widehat{BON}\right)=\frac{1}{2}\widehat{MON}\)
suy ra góc EOF=1/2 góc MON
câu b. CÓ AM ,AN là hai tiếp tuyến của đường tròn (O) cắt nhau tại A
suy ra OA là phân giác của \(\widehat{MON}\)( theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau )
suy ra \(\widehat{AON}=\widehat{AOM}=\frac{1}{2}\widehat{MON}\)
Mà theo câu a ta có \(\widehat{EOF}=\frac{1}{2}\widehat{MON}\)
từ đó suy ra \(\widehat{AOM}=\widehat{AON}=\widehat{EOF}\)
Tứ giác AMON có \(\widehat{AMO}+\widehat{ANO}=90+90=180\)
(vì AM,AN là tiếp tuyến của đường tròn(O) nên \(\widehat{AMO}=90;\widehat{ANO}=90\)
suy ra AMON là tứ giác nội tiếp (Dhnb)
suy ra \(\widehat{AOM}=\widehat{ANM}\)(hai góc nội tiếp cùng chắn \(\widebat{AM}\)của đường tròn ngoại tiếp tứ giác AMON)
Mà \(\widehat{AOM}=\widehat{EOF}\)\(\Rightarrow\widehat{ANM}=\widehat{EOF}\)(1)
có FB,FN là hai tiếp tuyến của (O)cắt nhau ở F
suy ra FO là tia phân giác của \(\widehat{BFN}\)(tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
\(\Rightarrow\widehat{BFO}=\widehat{OFN}\)(2)
tam giác EOF có \(\widehat{OEF}+\widehat{OFE}+\widehat{EOF}=180\)(tổng ba góc trong 1 tam giác)
\(\Rightarrow\widehat{OEF}+\widehat{ANM}+\widehat{OFN}=180\)(vì theo (1) và (2) có \(\widehat{ANM}=\widehat{EOF}\) và \(\widehat{BFO}=\widehat{OFN}\)))
hay \(\widehat{OEF}+\widehat{FNK}+\widehat{KFN}=180\)
mà trong tam giác FNK có \(\widehat{FKN}+\widehat{FNK}+\widehat{KFN}=180\)( tổng ba góc trong tam giác )
suy ra \(\widehat{OEF}=\widehat{FKN}\)
tứ giác EHKF có \(\widehat{OEF}=\widehat{FKN}\)
suy ra EHKF là tứ giác nội tiếp (tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong tại đỉnh đối là tứ giác nội tiếp)
XONG. xin lỗi câu c mình không biết làm còn câu b là cách của mình hơi dài
