Question

Cho \(\Delta ABC\)vuông cân ở A. Qua A vẽ đường thẳng d thay đổi. Vẽ BD và CE cùng vuông góc với d(D,E \(\in\)d). Chứng minh rằng tổng BD² + CE² có giá trị không đổi.

Answer 1

Có \(\hept{\begin{cases}\widehat{A_1}+\widehat{A_2}=90^o\\\widehat{A_1}+\widehat{B_1}=90^o\end{cases}\Rightarrow\widehat{A_2}=\widehat{B_1}}\)

Xét \(\Delta ADB\)và \(\Delta\)CEA có:

AB=AC (\(\Delta\)ABC cân tại A)

\(\widehat{A_2}=\widehat{B_1}\left(cmt\right)\)

\(\widehat{D}=\widehat{E}=90^o\)

=> \(\Delta ADB=\Delta CAE\left(ch-gn\right)\)

=> BD=AE

Ta có \(AE^2+CE^2=AC^2\)

=>\(BD^2+CE^2=AC^2\)

Vì AC không đổi => BD²+CE² không đổi

Answer 2

Bài làm

Bài làm

Ta có: \(\widehat{DAB}+\widehat{BAE}=180^0\)( hai góc kề bù )

=> \(\widehat{DAB}+\widehat{BAC}+\widehat{CAE}=180^0\)

Hay \(\widehat{DAB}+90^0+\widehat{CAE}=180^0\)

=> \(\widehat{DAB}+\widehat{CAE}=180^0-90^0=90^0\)                                (1) 

Xét tam giác ACE vuông ở E có:

\(\widehat{CAE}+\widehat{ECA}=90^0\)                                    (2) 

Từ (1), (2) => \(\widehat{ECA}=\widehat{DAB}\) 

Lại xét tam giác ABD và tam giác CAE có:

\(\widehat{BDA}=\widehat{AEC}\left(=90^0\right)\)

Cạnh huyền AB = AC ( Do tam giác ABC vuông cân ) 

\(\widehat{ECA}=\widehat{DAB}\)( cmt )

Vậy tam giác ABD = tam giác CAE ( cạnh huyền - góc nhọn )

=> AD = EC ( hai cạnh tương ứng )

Xét tam giác ABD vuông ở D có:

AB² = BD² + AD² 

Hay AB² = BD² + CE² 

Mà AB luôn luôn không đổi.

=> Tổng của BD² + CE² có giá trị luôn không đổi/ ( đpcm )