Trên tia đối của tia AC kẻ tia Ax.
Do đó AD là phân giác ngoài của \(\widehat{BAx}\).
Trên tia đối của tia AD lấy tia Ay. Lấy điểm F thuộc ia Ay sao cho \(\widehat{DCF}=\widehat{DAB}\)hay \(\widehat{DCF}=\widehat{A_2}\)
Xét \(\Delta BAD\)và \(\Delta FCD\)có:
\(\widehat{A_2}=\widehat{DCF}\)(hình vẽ trên).
\(\widehat{CDF}\)chung.
\(\Rightarrow\Delta BAD~\Delta FCD\left(g.g\right)\)
\(\Rightarrow\widehat{B_1}=\widehat{F_1}\)(2 góc tương ứng).
Và \(\frac{BD}{FD}=\frac{AD}{CD}\)(tỉ số đồng dạng).
\(\Rightarrow BD.CD=FD.AD\left(1\right)\)
Ta lại có: \(\widehat{A_1}=\widehat{A_2}\)(vì AD là phân giác của \(\widehat{BAx}\)).
Mà \(\widehat{A_1}=\widehat{A_3}\)(vì đối đỉnh).
\(\Rightarrow\widehat{A_2}=\widehat{A_3}\left(=\widehat{A_1}\right)\)
Xét \(\Delta BAD\)và \(\Delta FAC\)có:
\(\widehat{B_1}=\widehat{F_1}\)(chứng minh trên).
\(\widehat{A_2}=\widehat{A_3}\)(chứng minh trên).
\(\Rightarrow\Delta BAD~\Delta FAC\left(g.g\right)\)
\(\Rightarrow\frac{AD}{AC}=\frac{AB}{AF}\)(tỉ số đồng dạng).
\(\Rightarrow AD.AF=AB.AC\left(2\right)\)
Từ \(\left(1\right)\)và \(\left(2\right)\).
\(\Rightarrow FD.AD-AD.AF=BD.CD-AB.AC\)
\(\Rightarrow BD.CD-AB.AC=AD\left(FD-AF\right)\)
\(\Rightarrow BD.CD-AB.AC=AD.AD\)
\(\Rightarrow BD.CD-AB.AC=AD^2\)(điều phải chứng minh).
