Question

Cho \(\Delta ABC\)cân tại A, kẻ AH\(\perp\)BC, trên tia đối của tia HA lấy điểm D sao cho  HD=HA. trên tia đối tia CB lấy E sao cho CE=CB

1/ chứng minh: C là trọng tâm của tam giác ADE

2/ tia AC cắt DE tại M. chứng minh: AE//HM

Answer 1

a) Vì AH = HD => EH là đg trung tuyến của tg ADE

Khi đó C thuộc đg trung tuyến EH (1)

Do tg ABC cân tại A

mà AH là đg cao của tg ABC

=> AH là đg trung trực của tg ABC

=> BH = CH

=> BH = CH = 1/2 BC

Lại do BC = CE

=> CH = 1/2 CE

hay CE = 2/3 EH (2)

Từ (1); (2) => C là trọng tâm tg ADE.

Answer 2

Xét ΔAHBΔAHB và ΔAHCΔAHC có :

HAHA chung

HB=HCHB=HC ( AH là đường trung tuyến của BC )

AB=ACAB=AC ( ΔABCΔABC cân tại A )

Do đó : ΔAHB=ΔAHC(c−c−c)ΔAHB=ΔAHC(c−c−c)

⇒AHBˆ=AHCˆ⇒AHB^=AHC^ ( hai góc tương ứng )

Mà AHBˆ+AHCˆ=180oAHB^+AHC^=180o ( hai góc kề bù )

⇒AHBˆ=AHCˆ=180o2=90o⇒AHB^=AHC^=180o2=90o

Xét ΔAHEΔAHE và ΔHEDΔHED có :

HEHE chung

HA=HDHA=HD ( HE là đường trung tuyến của AD )

AHEˆ=DHEˆ(=90o)AHE^=DHE^(=90o)

Do đó : ΔAHE=ΔDHEΔAHE=ΔDHE ( hai cạnh góc vuông )

⇒AEHˆ=DEHˆ⇒AEH^=DEH^ ( góc tương ứng ) (*)

Vì C là trọng tâm của ΔAEDΔAED ⇒AM⇒AM là đường trung tuyến của DE )

⇒DM=ME⇒DM=ME

Xét ΔHEDΔHED vuông tại H có : HM là đường trung tuyến nối từ đỉnh H đến DE

⇒HM=DM⇒HM=DM (1)

Lưu ý : Trong tam giác vuông , đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng một nửa cạnh huyền . Tức HM=12DEHM=12DE. Mà 12DE=DM12DE=DM⇒HM=DM⇒HM=DM

Trở lại vào bài :

Mặt khác DM=ME(cmt)DM=ME(cmt)(2)

Từ (1) và (2) ⇒HM=ME⇒HM=ME

⇒ΔHME⇒ΔHME cân tại M

⇒MHEˆ=MEHˆ⇒MHE^=MEH^

Dễ thấy MEHˆ=HEAˆ(cmt)MEH^=HEA^(cmt) ở cái (*)

⇒MHEˆ=HEAˆ⇒MHE^=HEA^

mà hai góc này ở vị trí so le trong

⇒HM⇒HM//AEAE (đpcm)

Answer 3

mk nhầm phần b

Xét ΔAHB và ΔAHC có :

HAchung

HB=HC ( AH là đường trung tuyến của BC )

AB=AC ( ΔABC cân tại A )

Do đó : )ΔAHB=ΔAHC(c−c−c)

⇒AHBˆ=AHCˆ ( hai góc tương ứng )

Mà AHBˆ+AHCˆ=180o( hai góc kề bù )

⇒AHBˆ=AHCˆ=180o2

Xét ΔAHE và ΔHEDcó :

HE chung

HA=HD ( HE là đường trung tuyến của AD )

AHEˆ=DHEˆ(=90o)

Do đó : ΔAHE=ΔDHE ( hai cạnh góc vuông )

⇒AEHˆ=DEHˆ⇒AEH^=DEH^ ( góc tương ứng )

Vì C là trọng tâm của ΔAED ⇒AM là đường trung tuyến của DE )

⇒DM=ME

Xét ΔHEDvuông tại H có : HM là đường trung tuyến nối từ đỉnh H đến DE

⇒HM=DM⇒HM=DM (1)

Lưu ý : Trong tam giác vuông , đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng một nửa cạnh huyền . Tức HM=12DEMà 12DE=DM⇒HM=DM

Trở lại vào bài :

Mặt khác DM=ME(cmt)

Từ (1) và (2) ⇒HM=ME

⇒ΔHME⇒ΔHME cân tại M

⇒MHEˆ=MEHˆ

Dễ thấy MEHˆ=HEAˆ(cmt)

⇒MHEˆ=HEAˆ

mà hai góc này ở vị trí so le trong

⇒HM//AE (đpcm)

Answer 4

hình bạn tự vẽ nhé.

1) vì AH = HD nên EH là đường trung tuyến của \(\Delta ADE\)

\(\Delta ABC\)cân tại A có AH là đường cao nên cũng là đường trung tuyến

suy ra BH = HC

mà CB = CE nên \(HC=\frac{BC}{2}\)\(\Rightarrow HE=HC+CE=\frac{BC}{2}+BC=\frac{3BC}{2}\)

Ta có : \(\frac{CE}{HE}=\frac{BC}{\frac{3BC}{2}}=\frac{2}{3}\)nên C là trọng tâm của tam giác ADE

b) Vì C là trọng tâm của tam giác ADE nên AM là đường trung tuyến

suy ra DM = ME

Xét \(\Delta ADE\)có AH = HD ; DM = ME nên HM là đường trung bình 

\(\Rightarrow HM//AE\)