a) Vì AH = HD => EH là đg trung tuyến của tg ADE
Khi đó C thuộc đg trung tuyến EH (1)
Do tg ABC cân tại A
mà AH là đg cao của tg ABC
=> AH là đg trung trực của tg ABC
=> BH = CH
=> BH = CH = 1/2 BC
Lại do BC = CE
=> CH = 1/2 CE
hay CE = 2/3 EH (2)
Từ (1); (2) => C là trọng tâm tg ADE.
Xét ΔAHBΔAHB và ΔAHCΔAHC có :
HAHA chung
HB=HCHB=HC ( AH là đường trung tuyến của BC )
AB=ACAB=AC ( ΔABCΔABC cân tại A )
Do đó : ΔAHB=ΔAHC(c−c−c)ΔAHB=ΔAHC(c−c−c)
⇒AHBˆ=AHCˆ⇒AHB^=AHC^ ( hai góc tương ứng )
Mà AHBˆ+AHCˆ=180oAHB^+AHC^=180o ( hai góc kề bù )
⇒AHBˆ=AHCˆ=180o2=90o⇒AHB^=AHC^=180o2=90o
Xét ΔAHEΔAHE và ΔHEDΔHED có :
HEHE chung
HA=HDHA=HD ( HE là đường trung tuyến của AD )
AHEˆ=DHEˆ(=90o)AHE^=DHE^(=90o)
Do đó : ΔAHE=ΔDHEΔAHE=ΔDHE ( hai cạnh góc vuông )
⇒AEHˆ=DEHˆ⇒AEH^=DEH^ ( góc tương ứng ) (*)
Vì C là trọng tâm của ΔAEDΔAED ⇒AM⇒AM là đường trung tuyến của DE )
⇒DM=ME⇒DM=ME
Xét ΔHEDΔHED vuông tại H có : HM là đường trung tuyến nối từ đỉnh H đến DE
⇒HM=DM⇒HM=DM (1)
Lưu ý : Trong tam giác vuông , đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng một nửa cạnh huyền . Tức HM=12DEHM=12DE. Mà 12DE=DM12DE=DM⇒HM=DM⇒HM=DM
Trở lại vào bài :
Mặt khác DM=ME(cmt)DM=ME(cmt)(2)
Từ (1) và (2) ⇒HM=ME⇒HM=ME
⇒ΔHME⇒ΔHME cân tại M
⇒MHEˆ=MEHˆ⇒MHE^=MEH^
Dễ thấy MEHˆ=HEAˆ(cmt)MEH^=HEA^(cmt) ở cái (*)
⇒MHEˆ=HEAˆ⇒MHE^=HEA^
mà hai góc này ở vị trí so le trong
⇒HM⇒HM//AEAE (đpcm)
mk nhầm phần b
Xét ΔAHB và ΔAHC có :
HAchung
HB=HC ( AH là đường trung tuyến của BC )
AB=AC ( ΔABC cân tại A )
Do đó : )ΔAHB=ΔAHC(c−c−c)
⇒AHBˆ=AHCˆ ( hai góc tương ứng )
Mà AHBˆ+AHCˆ=180o( hai góc kề bù )
⇒AHBˆ=AHCˆ=180o2
Xét ΔAHE và ΔHEDcó :
HE chung
HA=HD ( HE là đường trung tuyến của AD )
AHEˆ=DHEˆ(=90o)
Do đó : ΔAHE=ΔDHE ( hai cạnh góc vuông )
⇒AEHˆ=DEHˆ⇒AEH^=DEH^ ( góc tương ứng )
Vì C là trọng tâm của ΔAED ⇒AM là đường trung tuyến của DE )
⇒DM=ME
Xét ΔHEDvuông tại H có : HM là đường trung tuyến nối từ đỉnh H đến DE
⇒HM=DM⇒HM=DM (1)
Lưu ý : Trong tam giác vuông , đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng một nửa cạnh huyền . Tức HM=12DEMà 12DE=DM⇒HM=DM
Trở lại vào bài :
Mặt khác DM=ME(cmt)
Từ (1) và (2) ⇒HM=ME
⇒ΔHME⇒ΔHME cân tại M
⇒MHEˆ=MEHˆ
Dễ thấy MEHˆ=HEAˆ(cmt)
⇒MHEˆ=HEAˆ
mà hai góc này ở vị trí so le trong
⇒HM//AE (đpcm)
hình bạn tự vẽ nhé.
1) vì AH = HD nên EH là đường trung tuyến của \(\Delta ADE\)
\(\Delta ABC\)cân tại A có AH là đường cao nên cũng là đường trung tuyến
suy ra BH = HC
mà CB = CE nên \(HC=\frac{BC}{2}\)\(\Rightarrow HE=HC+CE=\frac{BC}{2}+BC=\frac{3BC}{2}\)
Ta có : \(\frac{CE}{HE}=\frac{BC}{\frac{3BC}{2}}=\frac{2}{3}\)nên C là trọng tâm của tam giác ADE
b) Vì C là trọng tâm của tam giác ADE nên AM là đường trung tuyến
suy ra DM = ME
Xét \(\Delta ADE\)có AH = HD ; DM = ME nên HM là đường trung bình
\(\Rightarrow HM//AE\)