Question

Cho \(\Delta ABC\) từ A kẻ đường thẳng a // BC và từ C kẻ đường thẳng c // AB, chúng cắt nhau ở D. AC và BD cắt nhau tại O

a, C/minh: OB = OD

b, Gọi M là trung điểm của AD, CM cắt BD tại G. C/minh: \(GD=\dfrac{2}{3}OD\)

c, Từ A kẻ đường thẳng b // CM cắt BD tại I . C/minh: BI = IG = GD

Answer 1

a) Xét \(\Delta ACB\)và \(\Delta ACD\)có :

AC ( cạnh chung )

\(\widehat{CAD}=\widehat{BCA}\)( vì AD // BC )

\(\widehat{BAC}=\widehat{DCA}\)( vì AB // CD )

Suy ra :  \(\Delta ACB\)= \(\Delta ACD\)( g.c.g )

\(\Rightarrow\)AD = BC

Xét \(\Delta BOC\)và \(\Delta AOD\)có :

BC = AD ( cmt )

\(\widehat{CBO}=\widehat{ADO}\)( vì AD // BC )

\(\widehat{DAO}=\widehat{BCO}\)( vì AD // BC )

Suy ra : \(\Delta BOC\)= \(\Delta AOD\)( g.c.g )

\(\Rightarrow\)OB = OD ; OA = OC

b ) Xét \(\Delta CAD\)có CM và DO là trung tuyến nên G là trọng tâm của \(\Delta CAD\)

\(\Rightarrow\)\(GD=\frac{2}{3}OD\); \(OG=\frac{1}{3}OD\)

c) Ta có : đường thẳng b cắt BC ở H

Chứng minh được : \(\Delta ACH=\Delta CAM\left(g.c.g\right)\)

\(\Rightarrow\)HC = AM \(=\frac{1}{2}AD=\frac{1}{2}BC\)

\(\Rightarrow\)H là trung điểm BC

Xét \(\Delta ABC\)có BO và AH là trung tuyến nên I là trọng tâm \(\Delta ABC\)

\(\Rightarrow\)BI = \(\frac{2}{3}BO\); \(IO=\frac{1}{3}BO\)

Mà OB = OD \(\Rightarrow\)IO + OG = IG = \(\frac{2}{3}BO=\frac{2}{3}OD\)

Từ đó suy ra : BI = IG = GD

Answer 2