a) xét \(\Delta ADB\)zà \(\Delta AEC\)có
\(\hept{\begin{cases}\widehat{A}chung\\\widehat{AEC}=\widehat{ADB}=90^0\end{cases}}\)
\(=>\Delta ADB~\Delta AEC\left(g.g\right)\)
\(=>\frac{AD}{AE}=\frac{AB}{AC}=>AD.AC=AB.AE\left(dpcm\right)\)
\(taco\left(\frac{AD}{AE}=\frac{AB}{AC}=>\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}\right)\)
xét \(\Delta ADE\)zà \(\Delta ABCco\)
\(\hept{\begin{cases}\widehat{A}chung\\\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}\end{cases}=>\Delta ABE~\Delta ABC\left(c.g.c\right)}\)
=>\(\widehat{ADE}=\widehat{ABC}\left(dpcm\right)\)
c) Xét tam giác AEC zà tam giác HDC óc
góc AEC= góc HDC =90 độ
góc HCE chung
=> tam giác AEC~ tam giác HDC
=>\(\frac{AC}{HC}=\frac{EC}{DC}=>AC.DC=EC.HC\left(1\right)\)
xét tam giác BEC zà tam giác HEA có
góc BEC= góc AEH= 90 độ
góc BCE = góc EAH ( cùng phụ zới góc EBC )
=> tam giác BEC ~ tam giác HEA (g.g)
=>\(\frac{BE}{HE}=\frac{EC}{EA}=>BE.EA=EC.HE\left(2\right)\)
từ 1 zà 2 suy ra
\(BE.BA+CD.CA=BH.BD+CH.CE\)
kẻ AH zuông goc zới BC cắt BC tại F
Tự CM \(\hept{\begin{cases}\Delta CFH~\Delta CEB\\\Delta BFH~\Delta BDC\end{cases}=>\hept{\begin{cases}CF.CB=CH.CE\\BF.BC=BH.BD\end{cases}=>BE.BA+CD.CA=CF.CB+BF.CB}}\)
\(=BC.\left(CF+BF\right)=BC^2\)
b) Theo câu a ta có
\(\widehat{ADE}=\widehat{ABC}\)
mà \(\hept{\begin{cases}\widehat{ADE}+\widehat{EDH}=90^0\\\widehat{EBC}+\widehat{BCE}=90^0\end{cases}=>\widehat{EDH}=\widehat{ECB}}\)
xét tam giác EHD zà tam giác HBC có
góc EHD= góc BHC
góc EDH = góc HCB
=> ttam giác EHD ~ tam giác HBC
d) KHi tam giam ABC ta có H là trực tâm tam giác ABC
=> H là trong tâm tam giác ABC
=> ED là đường trung bình của tam giác ABC
khi đó ED=1/2BC
\(\hept{\begin{cases}AK=\frac{1}{2}AF\\AH=\frac{2}{3}ÀF\end{cases}=>HK=\frac{1}{6}AF}\)
suy ra \(S_{HED}=\frac{1}{2}ED.HK=\frac{1}{2}.\frac{1}{2}BC.\frac{1}{6}AF=\frac{1}{2}BC.AF.\frac{1}{6}.\frac{1}{2}=S_{ABC}.\frac{1}{12}\)
zậy ...
